[论文解读] Global Solution to a Nonlinear Fractional Differential Equation for the Caputo-Fabrizio Derivative

Sabrina Roscani, Domingo A. Tarzia+1 more|Conicet|Sep 6, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过使用具有非奇异指数核的Caputo-Fabrizio导数，建立了非线性分数阶微分方程全局解的存在性与唯一性。通过在Lipschitz条件满足 $ L < rac{1}{1-eta} $ 的前提下，对局部解进行迭代应用压缩映射原理，作者证明了解在所有时间上均存在，且当 $ \alpha \nearrow 1 $ 时收敛于经典一阶导数。分析部分包含了利用Mittag-Leffler函数对幂函数、三角函数和指数函数的导数进行显式计算。

ABSTRACT

This paper deals with the fractional Caputo--Fabrizio derivative and some basic properties related. A computation of this fractional derivative to power functions is given in terms of Mittag--Lefler functions. The inverse operator named the fractional Integral of Caputo--Fabrizio is also analyzed. The main result consists in the proof of existence and uniqueness of a global solution to a nonlinear fractional differential equation, which has been solved previously for short times by Lozada and Nieto (Progr. Fract. Differ. Appl., 1(2):87--92, 2015). The effects of memory as well as the convergence of the obtained results when $\al earrow 1$ (and the classical first derivative is recovered) are analyzed throughout the paper.

研究动机与目标

• 建立涉及Caputo-Fabrizio导数的非线性分数阶微分方程全局解的存在性与唯一性。
• 分析当 $ \alpha \nearrow 1 $ 时Caputo-Fabrizio导数的行为，证明其收敛于经典一阶导数。
• 以Mittag-Leffler函数形式，提供幂函数、正弦、余弦和指数函数的Caputo-Fabrizio导数的显式公式。
• 研究Caputo-Fabrizio导数中固有的记忆效应，特别是其对函数整个历史的非局部依赖性。
• 通过在连续时间区间上迭代求解子问题，将先前已知的局部解扩展为全局解。

提出的方法

• 作者使用具有非奇异指数核的Caputo-Fabrizio导数：$ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \frac{1}{1-\alpha} \int_0^t f'(\tau) e^{-\frac{\alpha(t-\tau)}{1-\alpha}} d\tau $。
• 推导出 $ t^n $、$ \sin(at) $、$ \cos(at) $ 和 $ e^{bt} $ 的导数在Mittag-Leffler函数下的显式表达式。
• 分析了反向算子，即Caputo-Fabrizio的分数阶积分，以支持解的框架构建。
• 在连续时间区间 $[T_k, T_{k+1}]$ 上迭代应用压缩映射原理，将局部解扩展为全局解。
• 通过求解形式为 $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \Phi_k(t, f(t)) $ 的子问题来构建解，其中源项经过修正以反映记忆效应。
• 在条件 $ L < \frac{1}{1-\alpha} $ 下建立全局解，确保每一步均满足压缩映射条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知局部解存在的前提下，涉及Caputo-Fabrizio导数的非线性分数阶微分方程是否存在全局解？
• RQ2 当 $ \alpha \nearrow 1 $ 时，Caputo-Fabrizio导数的行为如何？其是否收敛于经典一阶导数？
• RQ3 能否以Mittag-Leffler函数的形式表达 $ t^n $、$ \sin(at) $、$ \cos(at) $ 和 $ e^{bt} $ 等初等函数的Caputo-Fabrizio导数？
• RQ4 记忆效应在Caputo-Fabrizio导数中起什么作用？它如何影响求解方程所需的初始条件？
• RQ5 在何种条件下，可将局部解扩展为 $ \mathbb{R}^+ $ 上的全局解？

主要发现

• 当函数 $ \varphi $ 的Lipschitz常数 $ L $ 满足 $ L < \frac{1}{1-\alpha} $ 时，非线性分数阶微分方程 $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \varphi(t, f(t)) $ 的全局解存在且唯一。
• 解通过在区间 $[T_k, T_{k+1}]$ 上迭代求解子问题构建，其中 $ T_{k+1} - T_k < \frac{1 - (1-\alpha)L}{\alpha L} $，以确保每一步均收敛。
• 当 $ \alpha \nearrow 1 $ 时，Caputo-Fabrizio导数逐点收敛于经典一阶导数，且解收敛于经典ODE的解。
• Caputo-Fabrizio算子下 $ t^n $ 的导数以Mittag-Leffler函数的组合形式表达，论文中已显式计算。
• $ \sin(at) $、$ \cos(at) $ 和 $ e^{bt} $ 的导数也以Mittag-Leffler函数形式计算，显示出该算子对初等函数的可处理性。
• 记忆效应在解的过程中表现明显：每个子问题的初始条件依赖于前一时刻的完整历史，而不仅仅是边界处的值。