[论文解读] Joining and gluing sutured Floer homology

Rumen Zarev|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 15

一句话总结

本文通过证明 bordered 代数及其模的同调可分解为 sutured Floer 同调群的直和，建立了 bordered 与 sutured Floer 同调之间的直接代数联系。它引入了一个新的 SFH 上的胶合映射 Ψ，该映射对应于 bordered Floer 同调中的代数乘法与作用，为两种理论之间建立了基础性桥梁，并暗示其与接触 cobordism 映射等价。

ABSTRACT

We give a partial characterization of bordered Floer homology in terms of sutured Floer homology. The bordered algebra and modules are direct sums of certain sutured Floer complexes. The algebra multiplication and algebra action correspond to a new gluing map on SFH. It is defined algebraically, and is a special case of a more general "join" map. In a follow-up paper we show that this gluing map can be identified with the contact cobordism map of Honda-Kazez-Matic. The join map is conjecturally equivalent to the cobordism maps on SFH defined by Juhasz.

研究动机与目标

• 建立 bordered Floer 同调与 sutured Floer 同调（SFH）之间精确的代数关系。
• 在 SFH 上定义一个新的胶合映射 Ψ，以捕捉 bordered Floer 同调的代数结构。
• 证明 bordered 代数及其模的同调是各种分隔集下 SFH 群的直和。
• 将 bordered 同调中的代数乘法与模作用与新胶合映射 Ψ 对应起来。
• 为将 Ψ 识别为 SFH 中的接触 cobordism 映射奠定基础，该结论在后续工作中得到证实。

提出的方法

• 在 sutured 流形上定义一种新的胶合操作，其中两个边界分量以分隔集方向相反的方式胶合。
• 通过在 SFH 群上的代数构造，定义一个胶合映射 Ψ: SFH(Y₁,Γ₁) ⊗ SFH(Y₂,Γ₂) → SFH(Y₁∪ₐY₂,Γ₁₊₂)。
• 证明 bordered 代数的同调 H∗(𝒜(F)) 同构于 F 上所有可能分隔集下 SFH 群的直和。
• 证明 H∗(𝒜(F)) 对 H∗(CFA(Y)) 的作用对应于胶合映射 Ψ。
• 利用 bordered Floer 同调中 type-D 与 type-A 模的结构，从代数上定义胶合操作。
• 证明胶合映射 Ψ 是良定义的，并尊重沿具有匹配分隔集的边界曲面进行的 sutured 流形的拓扑胶合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 sutured Floer 同调群来表达 bordered Floer 同调？
• RQ2 在 SFH 中，何种代数结构对应于 bordered 代数中的乘法与作用？
• RQ3 是否存在一个在 SFH 上良定义的胶合映射，其镜像对应于 bordered Floer 同调中的代数运算？
• RQ4 胶合映射 Ψ 是否可与 SFH 中已知的接触 cobordism 映射相等同？
• RQ5 SFH 上的胶合操作是否等价于 Juhász 定义的 cobordism 映射？

主要发现

• bordered 代数的同调 H∗(𝒜(F)) 同构于 F 上所有可能分隔集下 sutured Floer 同调群的直和。
• H∗(𝒜(F)) 对 H∗(CFA(Y)) 的作用精确对应于 SFH 上的新胶合映射 Ψ。
• 胶合映射 Ψ 通过代数方式定义，并与沿分隔集方向相反的边界曲面进行的 sutured 流形的拓扑胶合相匹配。
• 该构造在 SFH 语言中完整刻画了 bordered Floer 同调的代数结构，解决了该理论中的一个关键问题。
• 胶合映射 Ψ 在猜想上等价于 Honda-Kazez-Matić 与 Juhász 定义的接触 cobordism 映射，其中前者已在后续论文中得到证实。
• 结果在 bordered 与 sutured Floer 同调之间建立了基础性桥梁，使得能够从 bordered 不变量计算 SFH，反之亦然。