[论文解读] Goldstone bosons in the massless Thirring model. Witten's criterion

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|May 20, 2003

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明，在手征对称性破缺相中，通过对费米子理论进行玻色化，质量为零的（赝）标量场的量子满足威滕对金斯通玻色子的判据。通过表明该场的贡献是满足轴矢流的低能定理和诺特定恒等式的非平凡来源，作者确认这些量子是金斯通玻色子，尽管所用的量子场论框架中不存在红外发散。

ABSTRACT

We discuss the Ward identity and the low-energy theorem for the divergence of the axial-vector current in the massless Thirring model with fermion fields quantized in the chirally broken phase (Eur. Phys. J. C20, 723 (2001)). The Ward identity and the low-energy theorem are analysed in connection with Witten's criterion for Goldstone bosons (Nucl. Phys. B145, 110 (1978)). We show that the free massless (pseudo)scalar field bosonizing the massless Thirring model in the chirally broken phase satisfies Witten's criterion to interpret quanta of this field as Goldstone bosons. As has been shown in hep-th/0210104 and hep-th/0212226, Goldstone's criterion, the non-invariance of the wave function of the ground state, is also fulfilled.

研究动机与目标

• 解决无质量施里林模型中存在无质量（赝）标量玻色子与科勒曼在1+1维中对自发对称性破缺的定理之间的表面矛盾。
• 验证无质量（赝）标量场的量子是否满足威滕对金斯通玻色子的判据，该判据要求其对诺特恒等式和低能定理的贡献是本质性的。
• 建立轴矢流发散的低能定理与在手征对称性破缺相中产生动力学费米子质量的间隙方程之间的一致性。
• 表明在施瓦茨类函数空间上定义、且傅里叶模为零的无质量（赝）标量场的量子场论，可避免红外发散并保持数学一致性，从而规避科勒曼定理。

提出的方法

• 推导无质量施里林模型中轴矢流发散的诺特恒等式和低能定理，区分手征对称相与手征对称性破缺相。
• 利用玻色化映射，将手征对称性破缺相中的费米子理论表示为自由无质量（赝）标量场理论，其中场 $\vartheta(x)$ 描述金斯通模。
• 应用威滕判据，分析 $\vartheta(x)$ 的量子是否非平凡地贡献于诺特恒等式和低能定理，特别是在轴流不守恒的情况下。
• 通过在子空间 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 上定义威格曼可观测量，构建 $\vartheta(x)$ 的量子场论，其中 $\tilde{h}(0) = 0$，以避免红外发散并确保内积的正定性。
• 通过证明卡伦-莱曼谱函数 $\rho_2(m^2)$ 必须为 $M\delta(m^2 - M^2)$，验证低能定理与间隙方程之间的一致性。
• 确认基态波函数在手征对称性下不不变，满足金斯通判据，并表明真空期望值 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle = 1$ 暗示非零费米子凝聚 $\langle \bar{\psi}\psi \rangle = -M/g$。

实验结果

研究问题

• RQ1 无质量施里林模型中自由无质量（赝）标量场 $\vartheta(x)$ 的量子是否满足威滕对金斯通玻色子的判据？
• RQ2 在手征对称性破缺相中，轴矢流的低能定理和诺特恒等式是否能在不违反1+1维量子场论约束的前提下非平凡地满足？
• RQ3 如何在1+1维中构建一个自由无质量（赝）标量场的自洽量子场论，而避免红外发散？
• RQ4 无质量施里林模型中金斯通玻色子的存在是否与科勒曼定理中关于1+1维中不存在自发对称性破缺的结论相容？
• RQ5 真空期望值 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle$ 在生成动力学费米子质量和确保与间隙方程一致方面起什么作用？

主要发现

• 自由无质量（赝）标量场 $\vartheta(x)$ 的量子满足威滕对金斯通玻色子的判据，因为它们是在手征对称性破缺相中对诺特恒等式和低能定理唯一非平凡的贡献来源。
• 在手征对称相中，诺特恒等式退化为 $0=0$，但在手征对称性破缺相中，轴矢流非零发散仅通过 $\vartheta(x)$ 场的贡献才能满足。
• 真空期望值 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle = 1$ 非零，意味着非零费米子凝聚 $\langle \bar{\psi}\psi \rangle = -M/g$，从而证实了手征对称性自发破缺。
• 为使低能定理与间隙方程保持一致，卡伦-莱曼谱函数 $\rho_2(m^2)$ 必须为 $M\delta(m^2 - M^2)$，从而确认了动力学质量的生成。
• 当可观测量定义在 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 上时，$\vartheta(x)$ 的量子场论与威格曼公理一致，避免了标准 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ 形式中导致无效的红外发散。
• 在手征对称性下，$\vartheta(x)$ 的基态波函数不不变，满足金斯通判据，因此通过金斯通与威滕的双重判据，确认 $\vartheta(x)$ 的量子为金斯通玻色子。