[论文解读] Gromov-Witten invariants and pseudo symplectic capacities

Guangcun Lu|ArXiv.org|Mar 28, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用 7

一句话总结

本文引入了伪辛容量（pseudo symplectic capacities），即对辛容量的推广，其引入了同调类，并通过格罗莫夫-威滕不变量构造了一类霍弗-泽亨德类型伪容量。该文建立了非挤压定理，证明了在辛单连通流形上的余切丛满足威斯坦猜想，并计算了格拉斯曼流形与乘积流形的容量，通过格罗莫夫-威滕不变量将辛拓扑与枚举几何联系起来。

ABSTRACT

We introduce the concept of pseudo symplectic capacities which is a mild generalization of that of symplectic capacities. As a generalization of the Hofer-Zehnder capacity we construct a Hofer-Zehnder type pseudo symplectic capacity and estimate it in terms of Gromov-Witten invariants. The (pseudo) symplectic capacities of Grassmannians and some product symplectic manifolds are computed. As applications we first derive some general nonsqueezing theorems that generalize and unite many previous versions, then prove the Weinstein conjecture for cotangent bundles over a large class of symplectic uniruled manifolds (including the uniruled manifolds in algebraic geometry) and also show that any closed symplectic submanifold of codimension two in any symplectic manifold has a small neighborhood whose Hofer-Zehnder capacity is less than a given positive number. Finally, we give two results on symplectic packings in Grassmannians and on Seshadri constants.

研究动机与目标

• 通过引入同调类来推广辛容量，从而提出伪辛容量的概念。
• 构造一类霍弗-泽亨德型伪容量，并利用格罗莫夫-威滕不变量对其进行估计。
• 计算格拉斯曼流形与乘积辛流形的伪容量。
• 建立广义非挤压定理，统一先前的版本。
• 证明余切丛在辛单连通流形上的威斯坦猜想，并分析余维数为二的子流形附近的小邻域。

提出的方法

• 定义 $G_k$-伪辛容量，满足关于同调类的伪单调性、共形性和非平凡性公理。
• 通过 $c^{(k)}(M,\omega;\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ 构造一类霍弗-泽亨德型伪容量，并将其与代表 $A$ 的 $J$-伪全纯球面的最小作用量相关联，同时施加同调类的约束。
• 通过格罗莫夫-威滕不变量 $\Psi^{M}_{A,0,3}(pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 估计伪容量，该不变量用于计数通过指定同调类的 $J$-伪全纯球面。
• 利用正则性与评估映射 $\mathrm{EV}^{J,A}_{0,3}$ 定义并计算格罗莫夫-威滕不变量为交数。
• 通过 $\Psi^{M}_{A,0,3} = \prod_{k=1}^m \Psi^{M_k}_{A_k,0,3}$（其中 $M = \prod M_k$，$A = \sum A_k$）证明格罗莫夫-威滕不变量在乘积下的可乘性，从而确立乘积流形上的容量行为。
• 将理论应用于计算格拉斯曼流形与乘积流形的容量，并推导其在辛打包与塞沙德拉常数方面的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将辛容量推广以纳入同调类？此类推广应满足哪些公理？
• RQ2 能否为带有同调数据的流形定义霍弗-泽亨德型容量？如何利用格罗莫夫-威滕不变量对其进行估计？
• RQ3 格拉斯曼流形与乘积辛流形的伪辛容量是多少？
• RQ4 广义非挤压定理是否统一或扩展了辛拓扑中先前的结果？
• RQ5 威斯坦猜想是否对辛单连通流形上的余切丛成立？这对子流形附近周期轨道意味着什么？

主要发现

• 对于 $({\mathbb{C}P}^n, \sigma_n)$，伪辛容量为 $\pi$，与标准霍弗-泽亨德容量一致。
• 格罗莫夫-威滕不变量 $\Psi^{M}_{A,0,3}(pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 在乘积下具有可乘性：当 $A_k$ 不可约时，有 $\Psi^{\prod M_k}_{A,0,3} = \prod \Psi^{M_k}_{A_k,0,3}$。
• 任何辛流形中余维数为二的闭合辛子流形的霍弗-泽亨德容量，可通过缩小其邻域使其变得任意小。
• 威斯坦猜想在辛单连通流形上的余切丛上成立，包括代数几何中的情形。
• 本文证明了一个广义非挤压定理，通过伪容量框架统一并扩展了早期版本。
• 通过构造的伪容量与格罗莫夫-威滕不变量，对格拉斯曼流形中的塞沙德拉常数与辛打包进行了有界估计。