[论文解读] Grothendieck-Riemann-Roch for derived schemes

Parker E. Lowrey, Timo Schürg|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过在光滑基上的导出概形的同伦范畴上定义双不变代数K-理论与双不变导出查尔斯理论，建立了导出概形的同调与上同调格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式。证明了从K-理论到导出查尔斯理论的陈示性类映射将虚拟吉辛同态与Todd类联系起来，从而为拟光滑态射得到一个GRR公式，该公式恢复了康特舍维奇的虚拟类公式。

ABSTRACT

We define bivariant algebraic K-theory and bivariant derived Chow on the homotopy category of derived schemes over a smooth base. The orientation on the latter corresponds to virtual Gysin homomorphisms. We then provide a morphism between these two bivariant theories and compare the two orientations. This comparison then yields a homological and cohomological Grothendieck-Riemann-Roch formula for virtual classes.

研究动机与目标

• 将双不变K-理论与双不变操作性查尔斯理论推广至具有拟投影底空间的导出概形上。
• 为这些理论在拟光滑态射上定义定向，将其解释为虚拟光滑结构。
• 构建双不变K-理论与双不变导出查尔斯理论之间的态射，并比较其定向。
• 为导出代数几何中的虚拟类推导格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式。
• 证明导出框架自然地解释了交点理论中的虚拟现象，尤其是通过完美障碍理论。

提出的方法

• 使用相对完美复形的格罗滕迪克群，在导出概形上定义双不变代数K-理论。
• 利用同构 $ d\mathrm{CH}(X) \cong \mathrm{CH}(\overline{X}) $，将双不变导出查尔斯定义为底空间上查尔斯群的操作性推广。
• 构造一个与双不变结构相容的陈示性类态射 $ \tau: K \to d\mathrm{CH}_{\mathbb{Q}} $。
• 分配定向：K-理论中的 $[\mathcal{O}_X]$ 与查尔斯理论中的虚拟吉辛同态 $[f^{!}]_{\text{vir}}$。
• 证明 $ \tau([\mathcal{O}_X]) = \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{X/Y}) \cap [f^{!}]_{\text{vir}} $，将两个定向联系起来。
• 利用到法丛的形变与 $ \mathbb{A}^1 $-不变性，证明 $ \mathcal{O}_X $-张量化在K-理论中对应于虚拟吉辛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将双不变理论推广至导出概形，以捕捉虚拟交点理论现象？
• RQ2 导出查尔斯理论中的虚拟吉辛同态与K-理论中的结构层之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否证明K-理论与导出查尔斯理论之间的陈示性类映射能够联系两个定向？
• RQ4 导出概形在多大程度上自然地编码了虚拟类而无需外部数据？
• RQ5 导出框架如何恢复经典GRR公式与康特舍维奇的虚拟类公式？

主要发现

• 态射 $ \tau: K \to d\mathrm{CH}_{\mathbb{Q}} $ 是双不变理论的良定义态射。
• 通过 $[\mathcal{O}_X]$ 定义的双不变K-理论的定向在 $ \tau $ 下映射为 $ \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{X/Y}) \cap [f^{!}]_{\text{vir}} $，即导出查尔斯理论中的虚拟吉辛同态。
• 对于恰当的拟光滑态射 $ f: X \to Y $，主要的GRR公式为 $ ch(f_*(\mathcal{P})) \cap \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{Y/k}) \cap [Y]_{\text{vir}} = f_*(ch(\mathcal{P}) \cap \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{X/k}) \cap [X]_{\text{vir}}) $。
• 当 $ Y $ 光滑时，该公式可通过 $ [\mathcal{P}] = \sum (-1)^i [\mathcal{H}^i(\mathcal{P})] $ 约化为在底空间上的计算。
• 导出框架将虚拟现象解释为经典方法的自然推广，尤其通过结构层编码障碍数据。
• 当在特征为0的域上且嵌入光滑概形时，结果作为特例恢复了 [CFK09, 定理 4.2.3]。