[论文解读] Grothendieck's Homotopy Hypothesis

Ilias Amrani|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在单纯拓扑范畴（sCat_Top）上建立了可生成、左平展且可展的模型结构，证明了∞-群胚——即所有态射均为同伦等价的拓扑范畴——的范畴与单纯集之间存在Quillen等价。该等价性证实了格罗滕迪克的同伦假设，即∞-群胚可刻画所有同伦类型。

ABSTRACT

We construct a "diagonal" cofibrantly generated model structre on the category of simplicial objects in the category of topological categories sCat_{Top}, which is the category of diagrams [Δ^{op}, Cat_{Top}]. Moreover, we prove that the diagonal model structures is left proper and cellular. We also prove that the category of \infty-groupoids (the full subcategory of topological categories) has a cofibrantly generated model structure and is Quillen equivalent to the model category of simplicial sets, which proves the Grothendieck's homotopy hypothesis.

研究动机与目标

• 在单纯拓扑范畴（sCat_Top）的范畴上构造一个可生成、左平展且可展的模型结构。
• 定义并表征对角模型结构，使得弱等价性通过一致神经函子和∞-群胚的实现来检测同伦类型。
• 证明Cat_Top中∞-群胚的全子范畴在Dwyer-Kan等价性作为弱等价性时， admits 一个可生成的模型结构。
• 在∞-群胚与单纯集的范畴之间建立Quillen等价性，从而证明格罗滕迪克的同伦假设。
• 将该框架扩展至n-群胚，并证明在同伦范畴中，n-类型与n-群胚是等价的。

提出的方法

• 通过一致神经函子和实现函子的提升，构造sCat_Top上的对角模型结构，以弱等价性和纤维化为基准。
• 利用左Quillen函子$k^!$关联单纯集上的Kan与准范畴模型结构，确保同伦类型得以保持。
• 通过提升性质和小对象方法，证明对角模型结构的左平展性与可展性。
• 将拓扑范畴的∞-群胚定义为其核心的Dwyer-Kan局部化，并证明该局部化的统一神经函子可恢复其同伦类型。
• 通过函子$\Theta: \mathbf{sSet} \to \mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$与$\Psi: \mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}} \to \mathbf{sSet}$建立∞-群胚与单纯集之间的Quillen伴随，并证明其为Quillen等价。
• 利用$k^! \widetilde{N}_\bullet \mathrm{sing} \mathbf{C} \to \widetilde{N}_\bullet \mathrm{sing} \mathbf{C}$为平凡纤维化的事实，证明该伴随在同伦范畴上诱导出等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单纯拓扑范畴的范畴上定义一个可生成、左平展且可展的模型结构？
• RQ2 sCat_Top上的对角模型结构是否与单纯集上的标准模型结构Quillen等价？
• RQ3 Cat_Top中∞-群胚的范畴是否 admits 一个以Dwyer-Kan等价性为弱等价性的模型结构？
• RQ4 ∞-群胚与单纯集之间的伴随是否为Quillen等价，从而证明格罗滕迪克的同伦假设？
• RQ5 n-类型的同伦理论是否可从n-群胚的同伦理论中恢复？

主要发现

• 在单纯拓扑范畴（sCat_Top）的范畴上存在一个可生成、左平展且可展的模型结构，称为对角模型结构。
• 对角模型结构满足：当且仅当$\mathrm{diag}~{}\widetilde{N}_\bullet \mathbf{A}_\bullet' \to \mathrm{diag}~{}\widetilde{N}_\bullet \mathbf{B}_\bullet'$是单纯集中的弱等价时，映射$\mathbf{A}_\bullet \to \mathbf{B}_\bullet$为弱等价。
• ∞-群胚（即所有态射均为同伦等价的拓扑范畴）的范畴 admits 一个以Dwyer-Kan等价性为弱等价性的可生成模型结构。
• 由$\Theta$与$\Psi$诱导的∞-群胚与单纯集之间的伴随是一个Quillen等价，从而证明了格罗滕迪克的同伦假设。
• n-类型的同伦范畴与n-群胚的同伦范畴等价，将同伦假设推广至n-群胚。
• sCat_Top上的对角模型结构限制在单纯∞-群胚范畴上，得到一个Quillen等价的模型结构，且该结构同样为左平展与可展。