[论文解读] Group actions on stacks and applications to equivariant string topology for stacks

Rafael J. L. Morcillo, Behrang Noohi|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 8

一句话总结

该论文在定向微分堆 ${\mathfrak{X}}$ 的自由循环堆 $\mathrm{L}{\mathfrak{X}}$ 的 $S^1$-等变同调上建立了分次李代数结构，将查斯-沙利文的弦括号推广至堆。通过转移映射与商堆技巧实现该构造，证明了 $H^{S^1}_{*+\dim{\mathfrak{X}}-2}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 是一个分次李代数，并为二维轨道丛给出了显式的戈德曼型括号。

ABSTRACT

This paper is a continuations of the project initiated in the book string topology for stacks. We construct string operations on the SO(2)-equivariant homology of the (free) loop space $L(X)$ of an oriented differentiable stack $X$ and show that $H^{SO(2)}_{*+dim(X) -2}(L(X))$ is a graded Lie algebra. In the particular case where $X$ is a 2-dimensional orbifold we give a Goldman-type description for the string bracket. To prove these results, we develop a machinery of (weak) group actions on topological stacks which should be of independent interest. We explicitly construct the quotient stack of a group acting on a stack and show that it is a topological stack. Then use its homotopy type to define equivariant (co)homology for stacks, transfer maps, and so on.

研究动机与目标

• 将查斯-沙利文的弦拓扑构造推广至微分堆，特别是通过在自由循环堆 $\mathrm{L}{\mathfrak{X}}$ 上定义 $S^1$-等变弦括号。
• 发展群作用与堆上商的一般理论，独立于主要应用，以增强在等变拓扑中的广泛适用性。
• 为二维轨道丛提供弦括号的几何实现，将经典戈德曼括号推广至非流形堆。
• 通过商堆的同伦型定义堆的等变（上）同调，使转移映射与吉辛序列得以应用。

提出的方法

• 为作用在堆 ${\mathfrak{X}}$ 上的群 $G$ 构造商堆 $[G\backslash{\mathfrak{X}}]$，证明其为拓扑堆，且当 ${\mathfrak{X}}$ 为几何堆时也为几何堆。
• 利用商堆 $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 的同伦型，通过映射堆的分类空间定义堆的等变同调。
• 通过商映射 $q: \mathrm{L}{\mathfrak{X}} \to [S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 引入转移映射 $T: H^{S^1}_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[2-d] \to H_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[1-d]$。
• 通过 $\{x,y\} := (-1)^{|x|} q(T(x) \star T(y))$ 定义弦括号，其中 $\star$ 为庞特里亚金积，并证明其使移位后的等变同调具备分次李代数结构。
• 通过证明商堆 $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 的基本群与底面流形内部的基本群同构，将该框架应用于二维轨道丛，从而实现戈德曼型描述。
• 利用范坎彭定理与基本群的表示，将 $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 上的李代数结构识别为基本群共轭类上的自由模。

实验结果

研究问题

• RQ1 查斯-沙利文的弦括号构造能否从流形推广至微分堆，特别是通过等变同调实现？
• RQ2 当标准群胚模型不具函子性时，如何利用群作用与商堆定义堆的等变（上）同调？
• RQ3 二维轨道丛的弦括号的显式几何描述是什么？其与经典戈德曼括号有何关系？
• RQ4 从等变同调到非等变同调的转移映射在堆设定下是否保持李代数结构？
• RQ5 商堆 $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 的同伦型在多大程度上决定了等变同调及其代数结构？

主要发现

• 在括号 $\{x,y\} := (-1)^{|x|} q(T(x) \star T(y))$ 下，$S^1$-等变同调 $H^{S^1}_{*+\dim{\mathfrak{X}}-2}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 构成一个分次李代数。
• 转移映射 $T: H^{S^1}_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[2-d] \to H_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[1-d]$ 是李代数同态，保持代数结构。
• 对于二维轨道丛 ${\mathfrak{X}}_{g,h}$，李代数 $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}}_{g,h})$ 同构于 $\mathbb{Z}[\operatorname{Conj}(F(\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}, a_1,\dots,a_{h-1}))]$，括号可通过环路的几何交点计算。
• 包含映射 $(\Sigma_{g,h,0})^0 \hookrightarrow {\mathfrak{X}}_{g,h}$ 诱导 $\pi_1$ 同构，因此在取自由循环后也诱导戈德曼李代数同构。
• 同调 $H_3({\mathfrak{X}}_{g,h})$ 同构于 $\mathbb{Z}^{h-1} \oplus \mathbb{Z}$，无非平凡扩张，确认其分次结构完全由关联的格罗滕迪克群决定。
• 在 $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}}_{g,h})$ 中，生成元 $\gamma_i$ 与 $\gamma_j$ 的弦括号一般非平凡，反映了非交换交点行为。