[论文解读] Group-valued momentum maps for actions of automorphism groups

Tobias Diez, Tudor S. Raţiu|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 52被引用 4

一句话总结

本文提出了一种无限维辛几何中群值动量映射的新框架，将经典动量映射理论扩展至辛纤维丛截面空间上自伴群作用的情形。该框架构造了将主圆丛与联络分配给每个截面的动量映射，解决了经典动量映射理论中的障碍，并在流体动力学、规范场论和Teichmüller理论中实现新应用。

ABSTRACT

The space of smooth sections of a symplectic fiber bundle carries a natural symplectic structure. We provide a general framework to determine the momentum map for the action of the group of bundle automorphism on this space. Since, in general, this action does not admit a classical momentum map, we introduce the more general class of group-valued momentum maps which is inspired by the Poisson Lie setting. In this approach, the group-valued momentum map assigns to every section of the symplectic fiber bundle a principal circle-bundle with connection. The power of this general framework is illustrated in many examples: we construct generalized Clebsch variables for fluids with integral helicity; the anti-canonical bundle turns out to be the momentum map for the action of the group of symplectomorphisms on the space of compatible complex structures; the Teichmüller moduli space is realized as a symplectic orbit reduced space associated to a coadjoint orbit of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ and spaces related to the other coadjoint orbits are identified and studied. Moreover, we show that the momentum map for the group of bundle automorphisms on the space of connections over a Riemann surface encodes, besides the curvature, also topological information of the bundle.

研究动机与目标

• 将经典动量映射理论扩展至标准动量映射因拓扑障碍而失效的无限维辛几何情形。
• 在辛纤维丛与结构群作用的背景下，发展动量映射的一般性框架。
• 解决微分同胚群与辛同胚群在截面空间上作用时经典动量映射缺失的问题。
• 通过统一的形式化体系，推广规范场论与Kähler几何中已有的动量映射构造。
• 通过具体例子展示该框架在几何力学、模空间理论和数学物理中的实用性。

提出的方法

• 受泊松-李结构启发，将群值动量映射作为经典动量映射的推广提出。
• 构造自伴群在辛纤维丛截面空间上作用的动量映射。
• 利用纤维积分与微分特征（Cheeger-Simons类）在动量映射中编码曲率与拓扑数据。
• 将该框架应用于推导规范群、微分同胚群与辛同胚群在截面上的动量映射。
• 利用微分特征的帽积关系，关联动量映射构造中的曲率与特征类。
• 借助余伴从轨道图像与约化技术，将模空间如Teichmüller空间识别为辛商空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典动量映射因拓扑障碍而失效时，能否为自伴群在辛纤维丛截面空间上的作用定义动量映射？
• RQ2 群值动量映射如何在无限维辛几何中同时编码几何与拓扑数据？
• RQ3 微分特征与预量子丛在辛纤维丛动量映射构造中扮演何种角色？
• RQ4 截面上辛同胚群的动量映射与Kähler几何及Teichmüller理论中的已知结构有何关联？
• RQ5 该动量映射框架能否统一规范场论、流体动力学与模空间几何中的构造？

主要发现

• 自伴群在截面空间上作用的动量映射被构造为群值映射，为每个截面分配一个带联络的主圆丛。
• 截面上辛同胚群的动量映射仅在特定上同调障碍消失时存在，否则由群值动量映射替代。
• 通过动量映射框架构造了具有整数螺旋度的流体的广义Clebsch变量，将螺旋度与预量子线丛联系起来。
• 反典型丛被识别为辛同胚群在相容复结构空间上作用的动量映射。
• Teichmüller模空间被实现为SL(2, R)余伴从轨道的辛约化，其他相关模空间亦通过同一框架识别。
• 在黎曼曲面上联络上作用的量子化群的动量映射，通过微分特征编码了丛的曲率与拓扑不变量。