[论文解读] Normal Form of Equivariant Maps and Singular Symplectic Reduction in Infinite Dimensions with Applications to Gauge Field Theory

Tobias Diez|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 106被引用 4

一句话总结

本文建立了弗雷歇流形之间等变映射的正规形式定理，并发展了无穷维的奇异辛约化理论，将经典 Marle-Guillemin-Sternberg 正规形式推广至无穷维情形。通过结合截面定理与 Kuranishi 型构造，证明了约化相空间可分解为具有精细分层的辛流形——即余切丛设定下的“接缝”（seams），并将该框架应用于规范场论，包括杨-米尔斯理论与杨-米尔斯-希格斯模型。

ABSTRACT

A local normal form theorem for smooth equivariant maps between Fréchet manifolds is established. Moreover, an elliptic version of this theorem is obtained. The proof these normal form results is inspired by the Lyapunov-Schmidt reduction for dynamical systems and by the Kuranishi method for moduli spaces, and uses a slice theorem for Fréchet manifolds as the main technical tool. As a consequence of this equivariant normal form theorem, the abstract moduli space obtained by factorizing a level set of the equivariant map with respect to the group action carries the structure of a Kuranishi space. Moreover, the theory of singular symplectic reduction is developed in the infinite-dimensional Fréchet setting. By refining the above construction, a normal form for momentum maps similar to the classical Marle-Guillemin-Sternberg normal form is established. Analogous to the reasoning in finite dimensions, this normal form result is then used to show that the reduced phase space decomposes into smooth manifolds each carrying a natural symplectic structure. Finally, the singular symplectic reduction scheme is further investigated in the situation where the original phase space is an infinite-dimensional cotangent bundle. The fibered structure of the cotangent bundle yields a refinement of the usual orbit-momentum type strata into so-called seams. Using a suitable normal form theorem, it is shown that these seams are manifolds. Taking the harmonic oscillator as an example, the influence of the seams on dynamics is illustrated. The general results stated above are applied to various gauge theory models. The moduli spaces of anti-self-dual connections in four dimensions and of Yang-Mills connections in two dimensions is studied. Moreover, the stratified structure of the reduced phase space of the Yang-Mills-Higgs theory is investigated in a Hamiltonian formulation.

研究动机与目标

• 将经典动量映射正规形式定理推广至无穷维弗雷歇流形情形。
• 为无穷维情形下的奇异辛约化建立严谨框架，特别是针对规范理论相空间。
• 通过识别‘接缝’——源自余切丛纤维结构的子流形——来细化约化相空间的分层结构。
• 证明即使在奇异情形下，约化空间仍可分解为光滑的辛流形。
• 将抽象框架应用于具体的规范场论，包括自对偶与杨-米尔斯联络，以及杨-米尔斯-希格斯理论。

提出的方法

• 将李雅普诺夫-施密特约化与 Kuranishi 方法适配，以构造弗雷歇流形之间光滑等变映射的正规形式。
• 以弗雷歇流形的截面定理作为核心技术工具，实现局部正规形式。
• 将抽象模空间构造为在群作用下对某水平集的商空间，并证明其继承了 Kuranishi 空间的结构。
• 将动量映射正规形式进一步精炼，得到 Marle-Guillemin-Sternberg 定理在无穷维情形下的类比。
• 分析相空间的余切丛结构，以识别‘接缝’——超越标准轨道-动量型分层的精细分层。
• 利用精炼后的正规形式，证明接缝为光滑子流形，从而在约化空间上实现分层辛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无穷维弗雷歇设定下建立等变映射的正规形式定理？
• RQ2 如何将奇异辛约化推广至具有群作用的无穷维辛流形？
• RQ3 余切丛的纤维结构在细化约化相空间分层中起何作用？
• RQ4 约化空间中的精细分层——即‘接缝’——是否为具有自然辛结构的光滑流形？
• RQ5 关于正规形式与约化理论的抽象结果，如何应用于杨-米尔斯与杨-米尔斯-希格斯等具体规范场论？

主要发现

• 建立了光滑等变映射在弗雷歇流形之间局部正规形式定理，推广了有限维情形的结果。
• 证明通过群作用对水平集取商所得的抽象模空间具有 Kuranishi 空间结构。
• 在弗雷歇设定下，推导出动量映射的无穷维 Marle-Guillemin-Sternberg 正规形式版本。
• 在精炼的约化方案下，即使在奇异情形，约化相空间仍可分解为光滑辛流形。
• 在余切丛设定中，标准轨道-动量分层被细化为‘接缝’，并通过正规形式证明其为光滑子流形。
• 调和振子模型表明接缝影响动力学，证实其在约化系统中具有几何与物理意义。