[论文解读] High Performance Quantum Modular Multipliers

Rich Rines, Isaac L. Chuang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 25

一句话总结

本文提出三种基于经典技术的新型可逆量子模乘法器——标准除法、Montgomery约减和Barrett约减，其渐近资源复杂度与非模整数乘法相当。所提出的方案，特别是基于傅里叶基的变体，实现14n个两量子比特门的电路深度，且仅需2n + O(log n)量子比特，相较于先前的精确量子模乘法器在深度和辅助量子比特使用上表现更优，同时保持精确结果，无近似误差。

ABSTRACT

We present a novel set of reversible modular multipliers applicable to quantum computing, derived from three classical techniques: 1) traditional integer division, 2) Montgomery residue arithmetic, and 3) Barrett reduction. Each multiplier computes an exact result for all binary input values, while maintaining the asymptotic resource complexity of a single (non-modular) integer multiplier. We additionally conduct an empirical resource analysis of our designs in order to determine the total gate count and circuit depth of each fully constructed circuit, with inputs as large as 2048 bits. Our comparative analysis considers both circuit implementations which allow for arbitrary (controlled) rotation gates, as well as those restricted to a typical fault-tolerant gate set.

研究动机与目标

• 设计渐近资源复杂度与非模整数乘法相当的可逆量子模乘法器。
• 消除先前基于傅里叶基方法中耗时的重复比较操作以及昂贵的QFT/QFT†电路。
• 实现无近似的精确模乘法，保持量子算法中的保真度。
• 实现在量子傅里叶变换基中的高效实现，降低辅助量子比特开销。
• 提供与容错门集和可扩展量子架构兼容的框架。

提出的方法

• 将经典模算术技术——标准除法、Montgomery约减和Barrett约减——转化为可逆量子电路。
• 采用可逆加法器和减法器作为核心原语，支持在不同量子算术模型中集成。
• 设计Montgomery和Barrett乘法器的傅里叶基兼容版本，避免深度密集型的QFT/QFT†操作。
• 在Barrett约减中使用预计算的约减因子，在Montgomery算术中采用N-残差表示，以消除运行时的除法操作。
• 通过将输入累加器适配为第二个量子输入，构建非就地的量子-量子模乘法器。
• 在任意旋转门和容错门集下，对2048位输入进行经验资源分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否实现资源复杂度与非模整数乘法相当的精确量子模乘法？
• RQ2 能否利用傅里叶基算术降低模乘法器的电路深度和辅助量子比特数量？
• RQ3 所提出的乘法器在性能和资源使用上相较于先前的精确与近似量子模乘法器表现如何？
• RQ4 能否在不牺牲精度的前提下，将经典模算术技术有效适配为可逆量子电路？
• RQ5 在傅里叶基与二进制表示的量子模乘法器之间，门数、电路深度与量子比特开销的权衡关系如何？

主要发现

• 所提出的模乘法器在量子傅里叶变换基中实现渐近电路深度为14n个两量子比特门，相较于先前精确傅里叶基乘法器（1000n门深度）显著降低延迟。
• 该设计仅需2n + O(log n)量子比特，与Beauregard的傅里叶基模加法器的低辅助量子比特数量相当，优于先前精确乘法器所需的9n和3n个辅助量子比特。
• Barrett和Montgomery基乘法器消除了重复比较操作及其相关的QFT/QFT†电路，这些操作在基于模加法的方法中主导了电路深度。
• 乘法器的傅里叶基版本性能与最快的近似量子模乘法器（12n门深度）相当，同时保持精确性，避免了近似带来的保真度损失。
• 资源分析证实，所提设计具有高效可扩展性，总门数和电路深度渐近等价于单个非模整数乘法器。
• 该框架可扩展至其他领域，如GF(2^m)上的有限域算术，并可与快速乘法或近似计算技术结合使用。