[论文解读] Higher dimensional Enriques varieties and automorphisms of generalized Kummer varieties

Samuel Boissière, Marc Nieper-Wißkirchen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文将高维Enriques簇定义为不可约全纯辛流形（特别是广义Kummer簇）在无不动点有限阶自同构作用下的商空间。通过在广义Kummer簇上使用阶为3和4的自同构，构造了4维和6维Enriques簇的显式例子，并分类了由基底阿贝尔曲面上自同构诱导的这些簇的自然自同构。

ABSTRACT

We define Enriques varieties as a higher dimensional generalization of Enriques surfaces and construct examples by using fixed point free automorphisms on generalized Kummer varieties. We also classify all automorphisms of generalized Kummer varieties that come from an automorphism of the underlying abelian surface.

研究动机与目标

• 通过不可约全纯辛流形在无不动点自同构作用下的商空间，将Enriques曲面推广到高维。
• 分类由基底阿贝尔曲面上自同构诱导的广义Kummer簇的自同构。
• 通过在广义Kummer簇上使用阶为3和4的自同构，显式构造4维和6维Enriques簇。
• 解决Arnaud Beauville提出的一个关于高维此类簇存在性的问题。

提出的方法

• 将Enriques簇定义为不可约全纯辛流形在有限阶、无不动点群作用下的商空间，且该群作用在辛形式上为纯非辛的。
• 使用与阿贝尔曲面 $A = E \times E$ 相关的广义Kummer簇 $K_n(A)$，其中 $E$ 为具有复乘法的椭圆曲线。
• 在 $A$ 上构造自同构 $\psi = t_a \circ h$，其中 $h$ 为具有单位根的对角矩阵，$t_a$ 为阶为 $n$ 的挠点的平移，从而在 $K_n(A)$ 上定义自同构。
• 通过分析轨道点之和，并求解涉及 $a_1$ 与单位根的第一坐标条件，验证 $K_n(A)$ 上无不动点。
• 通过证明关于 $a_1$ 的所需线性条件存在非平凡解，证明群 $\langle \psi^{[n]} \rangle$ 在 $n=3,4$ 时在 $K_n(A)$ 上自由作用。
• 通过取 $W \times V$ 的乘积（其中 $W = K_3(A)$，$V$ 为Calabi–Yau三fold），构造10维的反例，利用 $V$ 上的自由对合构造非分裂Enriques簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过不可约全纯辛流形在无不动点自同构作用下的商空间，将Enriques曲面推广到高维？
• RQ2 哪些广义Kummer簇的自同构是由其基底阿贝尔曲面上的自同构诱导的？
• RQ3 是否存在作为广义Kummer簇在阶为3和4的无不动点自同构作用下商空间的4维和6维Enriques簇？
• RQ4 能否构造一个并非不可约全纯辛流形在自由群作用下商空间的Enriques簇？
• RQ5 广义Kummer簇的自同构在点的希尔伯特概形上自由作用的条件是什么？

主要发现

• 本文显式构造了4维和6维Enriques簇，作为广义Kummer簇 $K_3(A)$ 和 $K_4(A)$ 在阶为3和4的无不动点自同构作用下的商空间。
• 当 $n=3$ 时，取 $a_1 = 1/3$ 可确保自同构 $\psi^{[3]}$ 在 $K_3(A)$ 上自由作用，因为条件 $(2 + \zeta_3)a_1 = 0$ 在 $E$ 中不成立。
• 当 $n=4$ 时，取 $a_1 = 1/4$ 可确保 $\psi^{[4]}$ 在 $K_4(A)$ 上自由作用，因为条件 $2(1+i)a_1 = 0$ 不成立。
• 当 $n=6$ 时，从 $K_6(A)$ 上的3次自同构构造的自同构 $f^{[6]}$，若取 $a_1 = 1/3$，则无不动点，从而得到一个弱Enriques簇。
• 构造了一个10维Enriques簇作为乘积 $X = W \times V$，其中 $W = K_3(A)$，$V$ 为Calabi–Yau三fold，且 $f^{[3]} \times \iota$ 的自由作用使得 $Y$ 不能是单个不可约全纯辛流形在自由群作用下的商空间。
• 所构造的10维Enriques簇是可约的，同构于 $(W / \langle f^{[3]} \rangle) \times (V / \langle \iota \rangle)$，表明并非所有Enriques簇都可表示为不可约全纯辛流形在自由群作用下商空间的形式。