[论文解读] Higher genus Gromov-Witten theory of the Hilbert scheme of points of the plane and CohFTs associated to local curves

Rahul Pandharipande, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文通过量子微分方程的解析延拓与R-矩阵分类，建立了$ \mathbb{C}^2$上$n$个点的希尔伯特概形的格罗莫夫-威滕理论、其对称积的轨道格罗莫夫-威滕理论，以及局部曲线的唐纳森-托马斯理论之间的完整高亏格等价关系。关键结果是在所有亏格下建立了完整的等价三角形，通过吉本塔尔-特勒曼理论与协边同调场论（CohFT）证明了广义的创世解析猜想的一个情形。

ABSTRACT

We study the higher genus equivariant Gromov-Witten theory of the Hilbert scheme of n points of the plane. Since the equivariant quantum cohomology is semisimple, the higher genus theory is determined by an R-matrix via the Givental-Teleman classification of Cohomological Field Theories (CohFTs). We uniquely specify the required R-matrix by explicit data in degree 0. As a consequence, we lift the basic triangle of equivalences relating the equivariant quantum cohomology of the Hilbert scheme and the Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for 3-fold theories of local curves to a triangle of equivalences in all higher genera. The proof uses the previously determined analytic continuation of the fundamental solution of the QDE of the Hilbert scheme. The GW/DT edge of the triangle in higher genus concerns new CohFTs defined by varying the 3-fold local curve in the moduli space of stable curves. The equivariant orbifold Gromov-Witten theory of the symmetric product of the plane is also shown to be equivalent to the theories of the triangle in all genera. The result establishes a complete case of the crepant resolution conjecture.

研究动机与目标

• 通过协边同调场论（CohFT）分类，将已知的$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的半单量子上同调扩展至高亏格格罗莫夫-威滕不变量。
• 在所有亏格下，建立$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的格罗莫夫-威滕理论、$ \mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$的轨道格罗莫夫-威滕理论，以及局部曲线的唐纳森-托马斯理论之间的完整等价三角形。
• 通过在三个理论之间匹配R-矩阵，证明$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的创世解析猜想。
• 通过量子微分方程解的解析延拓，解决$q = -1$处R-矩阵的非平凡匹配问题。

提出的方法

• 利用吉本塔尔-特勒曼对协边同调场论（CohFT）的分类，通过$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的等变量子上同调的半单性，从R-矩阵重构高亏格不变量。
• 通过显式计算零次度数据构造$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的R-矩阵，并通过变量替换$-q = e^{iu}$将其与$ \mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$的R-矩阵匹配。
• 对$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的量子微分方程（QDE）的基本解应用解析延拓，如文献[30]所计算，将R-矩阵从$q=0$扩展至$q=-1$，从而实现与对称积理论的比较。
• 使用Fock空间形式描述上同调与量子上同调，其中创建与湮灭算子作用于真空态向量以生成中川基。
• 通过$|\mu\rangle \mapsto |\widetilde{\mu}\rangle$建立态空间$\mathsf{V}$与$\widetilde{\mathsf{V}}$之间的同构，并通过$-q = e^{iu}$关联量子参数。
• 在变量替换与态空间识别下，验证微分方程与R-矩阵的匹配，从而证明完整的CohFT等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过吉本塔尔-特勒曼形式化，仅从$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的半单量子上同调完全重构其高亏格格罗莫夫-威滕理论？
• RQ2 在所有亏格下，$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的格罗莫夫-威滕理论、$ \mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$的轨道格罗莫夫-威滕理论，以及局部曲线的唐纳森-托马斯理论之间是否存在完整的等价关系？
• RQ3 如何将$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的R-矩阵从$q=0$扩展至$q=-1$，以实现与对称积理论的比较？
• RQ4 对$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的QDE解进行解析延拓，是否能实现$q = -1$处R-矩阵的非平凡匹配？
• RQ5 能否通过所有亏格下的完整CohFT等价三角形，完全验证$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的创世解析猜想？

主要发现

• 在变量替换$-q = e^{iu}$后，$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$在$q = -1$处的R-矩阵与$ \mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$在$u = 0$处的R-矩阵完全匹配，从而实现了完整的CohFT等价性。
• 通过在稳定曲线模空间中变化三叉局部曲线，将局部曲线的GW/DT对应关系推广至所有亏格，定义了新的CohFT。
• $ \mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$的等变轨道格罗莫夫-威滕理论在所有亏格下与三角形中的其他理论等价，从而完成了此情形下创世解析猜想的证明。
• 对$ \mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$的量子微分方程（QDE）解实现了从$q=0$到$q=-1$的解析延拓，解决了R-矩阵的非平凡匹配问题。
• 完整等价三角形得以确立：在$\mathsf{V} \to \widetilde{\mathsf{V}}$与$-q = e^{iu}$后，有$\Omega_{g,r} = \widetilde{\Omega}_{g,r}$，且在对偶变换下有$\widetilde{\Lambda}_{g,r} = \Lambda_{g,r}$。
• 在$\widetilde{\mathsf{V}} \leftarrow \mathsf{V}$与$-q = e^{iu}$后，GW/DT匹配关系在所有亏格下成立：$\widetilde{\Lambda}_{g,r} = \Lambda_{g,r}$，从而确认了高亏格对应关系。