[论文解读] The Chern character of the Verlinde bundle over the moduli space of stable curves

Alina Marian, Dragos Oprea+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文推导出模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上 Verlinde bundle 的总陈特征类的显式公式，该公式以稳定图的求和形式表达，包含腿、顶点和边的贡献。关键结果是以 tautological 类表示的闭式表达式，利用了半单性、Hitchin联络的射影平坦性以及 Givental-Teleman 分类理论，应用于亏格 $g$ 和等级 $r$ 下的共形块和 theta 函数。该公式证实了高阶陈类属于 tautological 环，并在紧致类型子簇上显著简化。

ABSTRACT

We prove an explicit formula for the total Chern character of the Verlinde bundle over the moduli space of pointed stable curves in terms of tautological classes. The Chern characters of the Verlinde bundles define a semisimple CohFT (the ranks, given by the Verlinde formula, determine a semisimple fusion algebra). According to Teleman's classification of semisimple CohFTs, there exists an element of Givental's group transforming the fusion algebra into the CohFT. We determine the element using the first Chern class of the Verlinde bundle on the moduli space of nonsingular curves and the projective flatness of the Hitchin connection.

研究动机与目标

• 推导出 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上 Verlinde bundle 的总陈特征类的显式公式，以 tautological 类表示。
• 证明 Verlinde bundle 的高阶陈类属于 tautological 环 $RH^\star(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$。
• 确定将融合代数转化为共形场论（CohFT）的 Givental 群元素，该元素由第一陈类和 Hitchin 联络的射影平坦性决定。
• 在紧致类型子簇 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ 上简化陈特征类表达式，得到紧凑的指数形式。

提出的方法

• 利用 Verlinde bundle 在边界除子上的因子化规则，证明其陈特征类定义了一个半单共形场论（CohFT）。
• 应用 Givental-Teleman 对半单 CohFT 的分类，将陈特征类从内点 $\mathcal{M}_{g,n}$ 唯一延拓至紧化模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$。
• 将 [Ts] 中导出的 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上 Verlinde bundle 的第一陈类作为延拓的关键输入。
• 将陈特征类构造为稳定图 $\Gamma$ 的求和，其中腿、顶点和边的贡献分别涉及 $\psi$-类、Verlinde 秩和包含 $\mathsf{w}(\mu)$ 的边因子。
• 通过表示论权重 $\mathsf{w}(\mu)$ 和余切类之和 $\psi_e' + \psi_e''$ 定义边因子，归一化为 $\frac{1 - \exp(-\mathsf{w}(\psi_e' + \psi_e''))}{\psi_e' + \psi_e''}$。
• 在紧致类型子簇 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ 上，利用生成函数展开简化表达式，通过自同构加权的下推映射匹配项，并识别出 $\delta_e^{k+1} = \iota_*(-\psi' - \psi'')^k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以 tautological 类显式表达 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上 Verlinde bundle 的总陈特征类？
• RQ2 Verlinde bundle 的陈特征类是否属于 tautological 环 $RH^\star(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$？
• RQ3 能否利用 Givental-Teleman 分类理论，从第一陈类和 Hitchin 联络的射影平坦性重建完整的陈特征类？
• RQ4 在紧致类型子簇 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ 上，陈特征类的简化形式是什么？
• RQ5 表示论权重 $\mathsf{w}(\mu)$ 和 $\psi$-类如何共同决定图求和中的边与腿的贡献？

主要发现

• Verlinde bundle 的总陈特征类由稳定图 $\Gamma$ 的求和给出，其中腿、顶点和边的贡献分别加权为 $\exp(-\mathsf{w}(\mu_l)\psi_l)$、Verlinde 秩 $d_{g_v}(\mu_1,\dots,\mu_{n_v})$，以及边因子 $\frac{1 - \exp(-\mathsf{w}(\mu)(\psi_e' + \psi_e''))}{\psi_e' + \psi_e''}$。
• Verlinde bundle 的高阶陈类属于 tautological 环 $RH^\star(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$，这是由于该公式的结构所致。
• 在紧致类型子簇 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ 上，陈特征类简化为 $\mathrm{ch}(\mathbb{E}_{g}(μ_1,\dots,\mu_n)) = r^g \exp\left(-\frac{r-1}{2}\lambda_1 - \sum_{i=1}^n \mathsf{w}_{\mu_i}\psi_i + \sum_e \mathsf{w}_e \delta_e\right)$。
• 边权重 $\mathsf{w}_e$ 通过为每条边的半边分配模 $r$ 的整数确定，使得在每个顶点和边上，相邻权重之和在模 $r$ 意义下为零，且树结构保证了唯一性。
• 在 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ 上的陈特征类公式与等级 $r$ theta 函数在全雅可比簇上的射影平坦丛一致，暗示了更深层次的对偶性。