[论文解读] Hom-bialgebras and comodule Hom-algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文引入了 Hom-双代数和余模 Hom-代数，作为经典双代数和余模代数的 Hom-型类比。它构造了一个普遍的 Hom-双代数 $\mathbf{M}(2)$，代表乘法 Hom-结合代数上的 $2\times2$ 矩阵，并通过在生成元上定义的余作用，证明了 Hom-仿射平面 $\mathbf{A}_2$ 是一个非平凡的 $\mathbf{M}(2)$-余模 Hom-代数。

ABSTRACT

We study Hom-bialgebras and objects admitting coactions by Hom-bialgebras. In particular, we construct a Hom-bialgebra M representing the functor of 2x2-matrices on Hom-associative algebras. Then we construct a Hom-algebra analogue of the affine plane and show that it is a comodule Hom-algebra over M in a suitable sense. It is also shown that the enveloping Hom-associative algebra of a Hom-Lie algebra is naturally a Hom-bialgebra.

研究动机与目标

• 开发 Hom-双代数的理论，作为经典双代数的 Hom-型推广。
• 构造一个普遍的 Hom-双代数 $\u005cmathbf{M}(2)$，用于表示乘法 Hom-结合代数上 $2\times2$ 矩阵的函子。
• 在 Hom-双代数上定义并研究余模 Hom-代数，推广经典余模代数的概念。
• 证明 Hom-仿射平面 $\u005cmathbf{A}_2$ 具备非平凡的 $\u005cmathbf{M}(2)$-余模结构。
• 建立 Hom-李代数的包络 Hom-结合代数自然具有 Hom-双代数结构。

提出的方法

• 使用从模到乘法 Hom-结合代数的自由函子，通过在生成元 $a,b,c,d$ 上赋予 $\alpha$-扭曲关系，构造 $\u005cmathbf{M}(2)$ 为自由代数。
• 在 $\u005cmathbf{M}(2)$ 上定义一个余乘法 $\Delta$，利用普遍性质表示矩阵乘法。
• 为 $\u005cmathbf{M}(2)$ 赋予一个满足 $\alpha$-扭曲余结合性的余乘法 $\Delta$，使其成为 Hom-双代数。
• 将 Hom-仿射平面 $\u005cmathbf{A}_2$ 构造为两个生成元 $x,y$ 上的自由乘法 Hom-结合代数。
• 通过设定 $\rho(x) = a\otimes x + b\otimes y$，$\rho(y) = c\otimes x + d\otimes y$，并代数延拓，定义一个余作用 $\rho: \u005cmathbf{A}_2 \to \u005cmathbf{M}(2) \otimes \u005cmathbf{A}_2$。
• 利用同构 $\u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{A}_2 \cong F(\u005ck\langle a',a'',b',b'',c',c'',d',d'',x,y\rangle)$ 和目标代数中的 Hom-结合性，验证余模条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个普遍的 Hom-双代数 $\u005cmathbf{M}(2)$，使其表示乘法 Hom-结合代数上 $2\times2$ 矩阵的函子？
• RQ2 Hom-仿射平面 $\u005cmathbf{A}_2$ 是否能通过非平凡余作用成为 $\u005cmathbf{M}(2)$-余模 Hom-代数？
• RQ3 Hom-李代数的包络 Hom-结合代数是否自然地具有 Hom-双代数结构？
• RQ4 经典余模代数的概念如何推广到 Hom-代数设定中？
• RQ5 $\alpha$-扭曲余结合性在定义 Hom-双代数及其余模中起什么作用？

主要发现

• Hom-双代数 $\u005cmathbf{M}(2)$ 存在，并表示将乘法 Hom-结合代数 $A$ 映射到 $A$ 上 $2\times2$ 矩阵代数 $M_2(A)$ 的函子，且存在自然双射 $\mathbf{HA}(\u005cmathbf{M}(2), A) \cong M_2(A)$。
• $\u005cmathbf{M}(2)$ 上的余乘法 $\Delta$ 通用地表示 $M_2(A)$ 中的矩阵乘法，且满足 $\alpha$-扭曲余结合性条件。
• Hom-仿射平面 $\u005cmathbf{A}_2$ 构造为两个生成元 $x$ 和 $y$ 上的自由乘法 Hom-结合代数，并通过余作用 $\rho(x) = a\otimes x + b\otimes y$，$\rho(y) = c\otimes x + d\otimes y$ 获得非平凡的 $\u005cmathbf{M}(2)$-余模结构。
• 余作用 $\rho$ 满足余模条件 $(\Delta_M \otimes \alpha_A) \circ \rho = (\alpha_M \otimes \rho) \circ \rho$，该条件通过张量积代数中的 Hom-结合性得以验证。
• Hom-李代数 $L$ 的包络 Hom-结合代数 $U_{HLie}(L)$ 自然地具有 Hom-双代数结构，扩展了经典的普遍包络代数构造。
• 该构造依赖于伴随关系 $\mathbf{HA}(\u005cmathbf{A}_2, \u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{A}_2) \cong \mathbf{Mod}(\u005ck\langle x,y\rangle, \u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{A}_2)$，使得余作用可在生成元上定义。