[论文解读] Hom-post-Lie modules, O-operators and some functors on Hom-algebras

Ibrahima Bakayoko|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了同态-后李模（Hom-post-Lie modules），并证明其在同态-后李代数或模结构映射的自同态作用下保持闭包。通过 $\nol$-算子构造了模上的新同态代数，将Rota-Baxter和O-算子构造推广至同态代数框架，并证明同态-后李模的直和与张量积仍为同态-后李模。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study modules over Hom-post-Lie algebras and give some contructions and various twisting i.e. we show that modules over post-Hom-Lie algebras are close by twisting either Hom-post-Lie algebras or module structure maps. Given a type of Hom-algebra A, an A-bimodule M and an O-operator T : A ---> M, we give constructions another of Hom-algebra structure on M.

研究动机与目标

• 定义并研究同态-后李代数上的模，将经典后李模理论推广至同态代数框架。
• 证明同态-后李模结构在代数自同态或模结构映射的扭曲下保持不变。
• 利用与同态结合代数上的双模相关的 $\nol$-算子，在模上构造新的同态代数结构。
• 将已知的同态-前李、同态- dendriform 及同态-L-dendriform 代数构造从同态结合代数通过O-算子推广。
• 将经典的O-算子与Rota-Baxter构造推广至同态代数背景，保持扭曲下的代数恒等式。

提出的方法

• 将同态-后李模定义为同态-后李代数上的双模，满足涉及扭曲映射 $\nol$ 的模公理的扭曲版本。
• 利用O-算子条件 $T(x)\bullet T(y) = T(l(T(x))y + r(T(y))x)$，将同态结合代数上的代数结构提升至模。
• 应用爱因斯坦求和约定，并定义左/右乘法映射 $l$ 和 $r$，以线性算子形式表达模作用。
• 通过运算 $x \bullet y = R(x)\bullet y - y\bullet R(x)$ 从同态结合代数构造同态-前李代数，其中 $R$ 为权为0的Rota-Baxter算子。
• 通过 $u \triangleright v = l(T(u))v$ 和 $u \triangleleft v = r(T(v))u$ 在模 $V$ 上定义同态-L-dendriform 代数结构，其中 $T: V \to A$ 为O-算子。
• 通过验证扭曲模公理被保持，证明同态-后李模在直和与张量积下保持闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义同态-后李代数上的模？其基本性质是什么？
• RQ2 在何种条件下，同态-后李模结构在代数自同态或模结构映射的扭曲下保持不变？
• RQ3 能否利用同态结合代数上的O-算子在底层模上构造新的同态代数结构？
• RQ4 通过O-算子构造，同态-前李代数、同态-dendriform 代数与同态-L-dendriform 代数之间存在何种关系？
• RQ5 经典O-算子与Rota-Baxter构造在具有非平凡扭曲映射的同态代数背景下如何推广？

主要发现

• 同态-后李模结构在同态-后李代数或模结构映射的自同态作用下保持闭包，且模公理被保持。
• 两个同态-后李模的直和与张量积自然继承同态-后李模结构。
• 给定同态结合代数 $(A,\bullet,\nol)$，$A$-双模 $(M,l,r,\beta)$，以及 $\nol$-算子 $T: M \to A$，通过 $u \triangleright v = l(T(u))v$ 和 $u \triangleleft v = r(T(v))u$ 在 $M$ 上定义同态-L-dendriform 代数结构。
• 可通过 $x \bullet y = R(x)\bullet y - y\bullet R(x)$ 从权为0的同态结合Rota-Baxter代数构造 $A$ 上的同态-前李代数结构。
• 当 $\nol = \text{Id}$ 且 $\beta = \text{Id}$ 时，构造恢复经典结果：O-算子从结合代数与双模给出 $V$ 上的 $L$-dendriform 代数。
• 建立了从同态-前李代数通过O-算子构造同态-dendriform 代数的方法，其运算为 $u \triangleleft v = l(T(u))v$ 和 $u \triangleright v = -r(T(u))v$。