[论文解读] Homology of formal deformations of proper etale Lie groupoids

Nikolai Neumaier, Markus J. Pflaum+2 more|ArXiv.org|Dec 22, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 4

一句话总结

该论文计算了恰当的可程化李群胚的卷积代数的正式形变量化构造的Hochschild与循环（上）同调，表明通过惯性群胚上的层上同调，循环上同调同构于轨道上同调。它将形变代数上的迹分类为与形式幂级数在ħ中的零阶轨道上同调群张量同构，并证明了Fedosov、Schulze与Tarkhanov关于迹结构的猜想仅在所有稳定子群均为阿贝尔群时成立。

ABSTRACT

In this article, the cyclic homology theory of formal deformation quantizations of the convolution algebra associated to a proper etale Lie groupoid is studied. We compute the Hochschild cohomology of the convolution algebra and express it in terms of alternating multi-vector fields on the associated inertia groupoid. We introduce a noncommutative Poisson homology whose computation enables us to determine the Hochschild homology of formal deformations of the convolution algebra. Then it is shown that the cyclic (co)homology of such formal deformations can be described by an appropriate sheaf cohomology theory. This enables us to determine the corresponding cyclic homology groups in terms of orbifold cohomology of the underlying orbifold. Using the thus obtained description of cyclic cohomology of the deformed convolution algebra, we give a complete classification of all traces on this formal deformation, and provide an explicit construction.

研究动机与目标

• 计算恰当的可程化李群胚的卷积代数的正式形变量化构造的Hochschild与循环（上）同调。
• 引入并计算一种捕捉Hochschild同调的半经典极限的非交换Poisson同调。
• 通过惯性群胚上的层上同调，将形变代数的循环上同调与轨道上同调联系起来。
• 对形变代数上的所有迹进行分类，并验证Fedosov、Schulze与Tarkhanov关于迹空间结构的猜想。

提出的方法

• 使用Hochschild复形上的ħ-Adic滤子定义谱序列，其E1项为非交换Poisson同调。
• 应用Teleman的局部化技术，将Hochschild上同调与惯性群胚上多重向量场的层上同调联系起来。
• 引入一种非交换Poisson同调，作为Brylinski的Poisson同调的推广，通过惯性群胚上复形的层同调计算。
• 依赖Connes、Burghelea、Brylinski、Nistor与Crainic的局部化技术，计算形变代数的Hochschild与循环同调。
• 通过基空间上以表示丛层为系数的层上同调，建立轨道上同调与形变代数的循环上同调之间的同构。
• 使用Morita等价性将完整形变交叉积代数与约化情形下的不变子代数联系起来，保持上同调不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用惯性群胚上的几何数据计算恰当的可程化李群胚的卷积代数的Hochschild上同调？
• RQ2 形变代数的非交换Poisson同调的结构是什么？它如何与Hochschild同调的半经典极限相关？
• RQ3 正式形变量化构造的循环（上）同调如何与轨道上同调相关？
• RQ4 形变群胚代数上的迹的完整分类是什么？它与稳定子群的几何结构有何关系？
• RQ5 Fedosov、Schulze与Tarkhanov关于Picard群作用于迹的猜想在何种条件下成立？

主要发现

• 卷积代数的Hochschild上同调同构于惯性群胚上交错多重向量场的层上同调。
• 形变代数的非交换Poisson同调计算为惯性群胚上复形的层同调，且作为ħ-Adic滤子相关谱序列的E1项出现。
• 正式形变量化构造的循环上同调同构于底层面的轨道上同调，作为以复化表示丛层为系数的基空间上的层上同调实现。
• 形变代数上迹空间同构于H⁰_orb(X, ℂ)⊗ℂ((ħ))，通过Leray谱序列同构于H⁰(X, ℝℂ)。
• Fedosov、Schulze与Tarkhanov的猜想成立当且仅当所有稳定子群均为阿贝尔群，因为仅在此时不可约表示为一维，确保Picard群的像构成迹空间的一组基。
• 在约化情形下，完整形变交叉积代数与不变子代数Morita等价，保持循环上同调与迹结构。