[论文解读] Homotopy theory in a quasi-abelian category

James Wallbridge|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文在任意格罗滕迪克准阿贝尔范畴中的微分分次（dg）模与dg-代数范畴上建立了奎伦模型结构，为无限维设定下的导出代数几何提供了同伦框架。关键贡献在于证明了此类范畴——如完备赋权向量空间与便利向量空间——具有行为良好的模型结构，支持如柯兹ul与Chevalley-Eilenberg型的导出构造。

ABSTRACT

We prove that the category of dg-modules and dg-algebras in a Grothendieck quasi-abelian category are endowed with a Quillen model structure. This allows some flexibility in setting up a theory of derived algebraic geometry in the infinite dimensional setting. For example, the category of complete bornological vector spaces, or equivalently, convenient vector spaces, is a Grothendieck quasi-abelian category. Closely related is the Grothendieck quasi-abelian category of ind-Banach spaces whose associated model category is shown to be Quillen equivalent. Applications include the Chevalley-Eilenberg resolution and the Koszul resolution of a commutative monoid object in a Grothendieck quasi-abelian category. These can be used for the calculation of derived quotients by an infinite dimensional Lie algebra and derived intersections respectively.

研究动机与目标

• 为无限维向量空间（特别是完备赋权与便利向量空间等非阿贝尔但为准阿贝尔的范畴）发展同伦理论。
• 通过在格罗滕迪克准阿贝尔范畴中构造模型范畴，将导出代数几何推广至非阿贝尔设定。
• 为通过解析方法计算无限维李代数的导出商与导出交集提供框架。
• 在相关范畴（如 $\textup{dg}^{\textup{CBorn}_{k}}$ 与 $\textup{dg}^{\textup{Conv}_{k}}$）的链复模型范畴之间建立奎伦等价性。
• 将经典解析方法（Chevalley-Eilenberg与Koszul）推广至格罗滕迪克准阿贝尔范畴中的交换幺半对象设定。

提出的方法

• 证明了格罗滕迪克准阿贝尔范畴上的dg-模与dg-代数范畴具有奎伦模型结构，其中纤维化与弱等价性通过精炼的拟同构定义。
• 使用dg-模上的内射与射影模型结构，表明所有对象均为上纤维对象，且纤维化在每级上定义。
• 应用局部可生成范畴与严格单射在滤子列极限下封闭的理论，以确立格罗滕迪克准阿贝尔性质。
• 通过 $P'$ 上恒等映射的映射锥构造柯兹ul-Tate解析 $K(R,P)$，作为基环 $Q$ 上交换dg-代数范畴中的上纤维对象替换。
• 通过简化拟同构论证，证明其在上同调上诱导同构，从而表明增强映射 $K(R,P) \to R$ 为平凡纤维化，即为上纤维对象替换。
• 通过第二列范畴图中诱导的模型结构，建立完备赋权向量空间与便利向量空间中链复模型范畴之间的奎伦等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在格罗滕迪克准阿贝尔范畴中的dg-模与dg-代数范畴上构造奎伦模型结构？
• RQ2 完备赋权向量空间或便利向量空间的范畴是否具有支持无限维导出代数几何的模型结构？
• RQ3 Chevalley-Eilenberg与Koszul解析能否推广至格罗滕迪克准阿贝尔范畴中的交换幺半对象？
• RQ4 在 $\textup{CBorn}_{k}$ 与 $\textup{Conv}_{k}$ 中的链复模型范畴之间是否存在奎伦等价性？
• RQ5 能否在此框架中使用柯兹ul型解析计算衍生堆栈上函数的导出临界点？

主要发现

• 任意格罗滕迪克准阿贝尔范畴中的dg-模与dg-代数范畴均具有奎伦模型结构，使非阿贝尔设定下的同伦代数成为可能。
• 完备赋权向量空间中链复的模型范畴与便利向量空间中链复的模型范畴之间存在奎伦等价性，建立了两种无限维框架之间的桥梁。
• 柯兹ul代数 $K(R,P)$ 为 $Q$ 上交换dg-代数范畴中的 $R$ 提供了上纤维对象替换，且增强映射 $K(R,P) \to R$ 为平凡纤维化。
• 衍生堆栈上函数 $f$ 的导出临界点同构于 $\operatorname{Spec}(K(A,\mathbb{L}_{X};df))$，通过切复形的柯兹ul解析计算得出。
• 移位余切丛 $T^*X[-1]$ 是导出临界点的模型，其函数代数为 $(\textup{Sym}(\mathbb{T}_X[1]), d_{df})$，一种柯兹ul型dg-代数。
• 柯兹ul解析的构造可推广至 $Q$-代数等价式 $R_m \otimes_Q K(R,P) \simeq K(R,P;m)$，支持导出几何中的基变换。