[论文解读] Projective Model Structures for Exact Categories

Jack Kelly|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文建立了精确范畴在具有阿贝尔嵌入和弱幂等完备性时，其链复形范畴允许存在投影模型结构的充分条件。证明了若一个精确范畴具有足够多的投影对象，则其有下界的复形范畴允许存在投影模型结构；在额外假设如存在核以及直积保持精确性下，无界复形范畴也允许此类结构，从而推广了Dold-Kan对应关系。

ABSTRACT

In this article we provide sufficient conditions on weakly idempotent complete exact categories $E$ which admit an abelian embedding, such that various categories of chain complexes in $E$ are equipped with projective model structures. In particular we show that as soon as $E$ has enough projectives, the category $ extbf{Ch}_{+}(E)$ of bounded below complexes is equipped with a projective model structure. In the case that $E$ also admits all kernels we show that it is also true of $ extbf{Ch}_{\ge0}(E)$, and that a generalisation of the Dold-Kan correspondence holds. Supplementing the existence of kernels with a condition on the existence and exactness of certain direct limit functors guarantees that the category of unbounded chain complexes $ extbf{Ch}(E)$ also admits a projective model structure. When $E$ is monoidal we also examine when these model structures are monoidal and conclude by studying some homotopical algebra in such categories. Along the way we also discuss generators in exact categories.

研究动机与目标

• 确定精确范畴在具有阿贝尔嵌入时，其链复形范畴允许存在投影模型结构的充分条件。
• 研究当精确范畴具有足够多投影对象时，有下界链复形范畴何时允许存在投影模型结构。
• 通过假设存在核以及某些直积函子的精确性，将结果扩展至无界链复形范畴。
• 研究当基精确范畴为张量范畴时，所得模型结构何时为张量范畴。
• 探讨此类范畴中同伦代数的含义，包括精确范畴中生成元的作用。

提出的方法

• 以弱幂等完备性和阿贝尔嵌入作为研究精确范畴的基础假设。
• 将投影模型结构理论应用于有下界链复形范畴，利用存在足够多投影对象的性质。
• 通过假设精确范畴中存在所有核，将构造推广至无界复形。
• 引入对某些直积函子精确性的条件，以确保无界复形范畴中投影模型结构的存在性。
• 在具有核和合适极限行为的精确范畴背景下，推广Dold-Kan对应关系。
• 当基精确范畴配备相容的张量结构时，分析模型范畴上的张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，精确范畴中具有下界的链复形范畴允许存在投影模型结构？
• RQ2 在具有核的精确范畴背景下，如何推广Dold-Kan对应关系？
• RQ3 为将投影模型结构扩展至无界链复形范畴，对直积结构需增加何种额外的结构性假设？
• RQ4 当基精确范畴为张量范畴时，所构造的链复形上的投影模型结构何时能继承张量结构？
• RQ5 精确范畴中的生成元与模型结构的构造和性质有何关联？

主要发现

• 若精确范畴 $ E $ 具有足够多的投影对象且允许阿贝尔嵌入，则其有下界链复形范畴 $ \textbf{Ch}_{+}(E) $ 允许存在投影模型结构。
• 当 $ E $ 也允许所有核时，其非负度数复形范畴 $ \textbf{Ch}_{\text{≥0}}(E) $ 允许存在投影模型结构。
• 在额外假设某些直积函子存在且精确的条件下，其无界链复形范畴 $ \textbf{Ch}(E) $ 允许存在投影模型结构。
• 在允许所有核且满足直积函子精确性条件的精确范畴中，Dold-Kan对应关系的推广成立。
• 当 $ E $ 为张量范畴时，$ \textbf{Ch}(E) $、$ \textbf{Ch}_{+}(E) $ 和 $ \textbf{Ch}_{\text{≥0}}(E) $ 上的投影模型结构可赋予相容的张量结构。
• 证明了精确范畴中生成元的存在性与这些模型结构的构造和行为密切相关。