[论文解读] Horizontal $\alpha$-Harmonic Maps

Francesca Da Lio, Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了 ℝ^m 上平面分布的水平 α-调和映射，将经典调和映射推广至非可积分布的情形。对于 1D 中的 α = 1/2 和 2D 中的 α = 2，通过证明解满足具有反对称势的薛定谔型系统，建立了正则性，从而可应用已有守恒律技术，证明 Hölder 连续性与部分正则性。

ABSTRACT

Given a $C^1$ planes distribution $P_T$ on all ${\\mathbb R}^m$ we consider {\\em horizontal $\\alpha$-harmonic maps}, $\\alpha\\ge 1/2$, with respect to such a distribution. These are maps $u\\in H^{\\alpha}({{\\mathbb R}}^k,{{\\mathbb R}}^m)$ satisfying $P_T\ abla u=\ abla u$ and $P_T(u)(-\\Delta)^{\\alpha}u=0$ in ${\\mathcal D}'({{\\mathbb R}}^k).$ If the distribution of planes is integrable then we recover the classical case of $\\alpha$-harmonic maps with values into a manifold. In this paper we shall focus our attention to the case $\\alpha=1/2$ in dimension $1$ and $\\alpha=2$ in dimension $2$ and we investigate the regularity of the {\\em horizontal $\\alpha$-harmonic maps}. In both cases we show that such maps satisfy a Schr\\"odinger type system with an antisymmetric potential, that permits us to apply the previous results obtained by the authors. Finally we study the regularity of {\\em variational $\\alpha$-harmonic} maps which are critical points of $\\|(-\\Delta)^{\\alpha/2} u\\|^2_{L^2}$ under the constraint to be tangent (horizontal) to a given planes distribution. We produce a convexification of this variational problem which permits to write it's Euler Lagrange equations.

研究动机与目标

• 将 α-调和映射理论推广至 ℝ^m 中非可积平面分布的情形，超越子流形的古典理论。
• 研究当分布非可积时，水平 α-调和映射的正则性，特别是 1D 中 α = 1/2 和 2D 中 α = 2 的情形。
• 为约束于水平分布的 α-调和映射建立变分框架，通过凸化方法推导欧拉-拉格朗日方程。
• 证明所得方程具有类似薛定谔型结构且含反对称势，从而可应用现有守恒律工具。
• 利用对易子估计与伪微分算子理论，证明弱解的局部 Hölder 正则性。

提出的方法

• 将水平 α-调和映射定义为满足 P_T∇u = ∇u 且 P_T(u)(−Δ)^αu = 0 在 𝒟′(ℝ^k) 中的 u ∈ H^α(ℝ^k, ℝ^m)，其中 P_T 为 C¹ 光滑的正交投影场。
• 对于 1D 中的 α = 1/2 和 2D 中的 α = 2，通过分析 (−Δ)^α/2 与投影算子之间的对易子，推导出含反对称势的伪微分方程组。
• 利用三重对易子结构与可积性补偿性质，将非局部方程与具有局部形式的薛定谔型 PDE 系统联系起来。
• 应用关于含反对称势系统守恒律的已有结果（见 [13] 与 [5]），推导出解的 Hölder 连续性。
• 通过凸化能量泛函，重新表述水平约束下 α-调和映射的变分问题，以推导欧拉-拉格朗日方程。
• 将欧拉-拉格朗日方程表示为伪微分算子矩阵系统，其系数由 P_T、P_N、(−Δ)^α/2 与 Riesz 变换之间的对易子导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 α-调和映射的正则性理论能否推广至非可积平面分布，而不仅限于子流形？
• RQ2 当分布非可积时，水平 α-调和映射的欧拉-拉格朗日方程具有何种结构？
• RQ3 对易子估计与伪微分算子理论如何在缺乏可积性条件下实现正则性结果？
• RQ4 非局部方程 P_T(u)(−Δ)^αu = 0 能否转化为含反对称势的局部系统，以利用现有守恒律工具？
• RQ5 水平 α-调和映射的变分结构为何？如何通过凸化获得可处理的欧拉-拉格朗日形式？

主要发现

• 在 1D 中 α = 1/2 时，水平 1/2-调和映射满足具有反对称势的薛定谔型系统，从而可应用守恒律技术证明 Hölder 连续性。
• 在 2D 中 α = 2 时，系统简化为类似结构，且相同的守恒律工具可导出部分正则性结果。
• 涉及 (−Δ)^α/2 与投影算子 P_T、P_N 的对易子项在 P_T ∈ H^{1/2}(ℝ) ∩ L^∞(ℝ) 时被证明在 H^1(ℝ) 中有界，从而实现对非局部项的控制。
• 变分问题的欧拉-拉格朗日方程被重述为伪微分算子矩阵系统，其系数以对易子形式表达。
• 系统 (A.40) 中的伪微分算子矩阵 C − 2D 被证明在 L^2 上有界，确保在 P_T 具备适当正则性时系统适定。
• 关键技术进展在于对约束变分问题的凸化，使得可推导出适合正则性分析的欧拉-拉格朗日方程形式。