[论文解读] Immersed curves in Khovanov homology

Artem Kotelskiy, Liam Watson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 63被引用 8

一句话总结

本文通过在四 punctured 球面中使用带局部系统的浸入曲线，为 Bar-Natan 的通用扭结不变量提供了几何解释，建立了满足粘合定理的扭结不变量 f_BN(T)，该定理通过 wrapped Lagrangian Floer 同调恢复了约化的 Bar-Natan 同调。主要贡献是对于与四端扭结相关的 quiver 代数 B 上的双分次链复形进行了完整分类，从而导出新的不变量 f_Kh(T) 和 Kh(T)，分别恢复了约化和非约化的 Khovanov 同调，并证明了 Conway 变换在 F_2 上保持 s-不变量和约化 Bar-Natan 同调。

ABSTRACT

We give a geometric interpretation of Bar-Natan's universal invariant for the class of tangles in the 3-ball with four ends: we associate with such 4-ended tangles $T$ multicurves $\widetilde{\operatorname{BN}}(T)$, that is, collections of immersed curves with local systems in the 4-punctured sphere. These multicurves are tangle invariants up to homotopy of the underlying curves and equivalence of the local systems. They satisfy a gluing theorem which recovers the reduced Bar-Natan homology of links in terms of wrapped Lagrangian Floer theory. Furthermore, we use $\widetilde{\operatorname{BN}}(T)$ to define two immersed curve invariants $\widetilde{\operatorname{Kh}}(T)$ and $\operatorname{Kh}(T)$, which satisfy similar gluing theorems that recover reduced and unreduced Khovanov homology of links, respectively. As a first application, we prove that Conway mutation preserves reduced Bar-Natan homology over the field with two elements and Rasmussen's $s$-invariant over any field. As a second application, we give a geometric interpretation of Rozansky's categorification of the two-stranded Jones-Wenzl projector. This allows us to define a module structure on reduced Bar-Natan and Khovanov homologies of infinitely twisted knots, generalizing a result by Benheddi.

研究动机与目标

• 为四端扭结的 Bar-Natan 通用扭结不变量提供一种基于曲线的几何解释。
• 对与四端扭结相关的 quiver 代数 B 上的双分次链复形进行分类。
• 通过粘合定理定义新的浸入曲线不变量 f_Kh(T) 和 Kh(T)，使其分别恢复约化和非约化的 Khovanov 同调。
• 证明 Conway 变换在 F_2 上保持 s-不变量和约化 Bar-Natan 同调。
• 实现 Rozansky 的 categorified 二-strand Jones–Wenzl 投影算子的几何化，并在无限扭结的同调上定义模结构。

提出的方法

• 在 cobordism 范畴 Cob/l 中构造 morphism 空间的新基底，从而在无交叉扭结的自同态范畴与具有关系 DS = 0 = SD 的 quiver 的路径代数 B 之间建立同构。
• 在该同构下，将 Bar-Natan 不变量 [[T]]/l 对应的链复形定义为 B 上的不变量 Д(T)，使其成为一个带标记的扭结不变量。
• 在四 punctured 球面 S^2_{4,*} 中引入几何不变量 f_BN(T)、f_Kh(T) 和 Kh(T)，作为带局部系统的多曲线，其中曲线代表 B 上的链复形。
• 使用 wrapped Lagrangian Floer 同调建立粘合定理：将 f_BN(T) 与 Lagrangian L∞ 配对，可恢复闭链的约化 Bar-Natan 同调。
• 通过 Д(T) 与一个分次双模 BGR 的张量积，构造无限扭结同调上的类型 AD 双模结构，其中 BGR 模型了无限扭结。
• 应用 [OS19, Lemma 12.3] 通过识别链复形中存活的 zigzag，计算双模的同调，从而得到同伦等价，实现几何曲线不变量的几何化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将四端扭结的 Bar-Natan 通用扭结不变量几何化为四 punctured 球面中带局部系统的浸入曲线？
• RQ2 所得到的不变量 f_BN(T) 是否满足一个粘合定理，使其通过 wrapped Floer 理论恢复约化 Bar-Natan 同调？
• RQ3 是否可以定义不变量 f_Kh(T) 和 Kh(T)，使得它们的粘合分别恢复链的约化和非约化 Khovanov 同调？
• RQ4 Conway 变换是否保持 s-不变量和 F_2 上的约化 Bar-Natan 同调？若是，原因是什么？
• RQ5 Rozansky 的 categorified 二-strand Jones–Wenzl 投影算子能否通过浸入曲线获得几何解释？

主要发现

• Cob/l 中无交叉四端扭结的自同态范畴同构于 quiver D ⇄ S 的路径代数 B，关系为 DS = 0 = SD。
• 不变量 Д(T) 是 B 上的双分次链复形，定义在链同伦意义下唯一，且依赖于一个选定的扭结端点。
• 多曲线 f_BN(T) 是在曲线同伦与局部系统等价意义下的扭结不变量，且满足粘合定理：HF(L∞, f_BN(T)) ≅ BN(L)，其中 L 为闭链。
• 不变量 f_Kh(T) 通过相同的粘合机制恢复约化 Khovanov 同调，而 Kh(T) 恢复非约化版本。
• Conway 变换保持 s-不变量和 F_2 上的约化 Bar-Natan 同调，这由 f_BN(T) 在变换下的不变性所证明。
• 无限扭结的同调在双模 BGR 上具有模结构，且 g_BN(K∞)_R ≃ Д(T)_B ⊠_B GR ⊠_R，其中 GR 作为包含生成元和涉及 H 和 x 的微分的链复形的极限被实现。