[论文解读] Impact of impurities on the topological boundaries and edge state localization in a staggered chain of atoms: SSH model and its topoelectrical circuit realization

Julio César Pérez-Pedraza, José Eduardo Barrios-Vargas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2024

Advanced Physical and Chemical Molecular InteractionsChemistry被引用 3

一句话总结

本文通過緊鍵理論與拓撲電路模擬，研究了在Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型中，雜質超晶格對拓撲邊界及邊緣態局域化之影響。結果顯示，雜質會改變拓撲相變邊界條件，並根據雜質在超細胞內的位置，顯著增強邊緣態的局域化；電路實現中的共振阻抗響應證實了拓撲保護效應。

ABSTRACT

We study the Su-Schrieffer-Hegger model, perhaps the simplest realization of a topological insulator, in the presence of an embedded impurity superlattice. We consider the impact of the said impurity by changing the hopping amplitudes between them and their nearest neighbors in the topological boundaries and the edge state localization in the chain of atoms. Within a tight-binding approach and through a topolectrical circuit simulation, we consider three different impurity-hopping amplitudes. We found a relaxation of the condition between hopping parameters for the topologically trivial and non-trivial phase boundary and a more profound edge state localization given by the impurity position within the supercell.

研究动机与目标

• 了解超晶格結構中的雜質如何影響SSH模型的拓撲相變。
• 分析邊緣態局域化與雜質在超細胞內位置的關係。
• 建立具工程化雜質的SSH模型拓撲電路實現，以進行實驗驗證。
• 探討雜質誘導的躍遷幅度變化對拓撲相變邊界條件的影響。
• 展示拓撲電路中阻抗共振響應作為拓撲邊緣態的特徵。

提出的方法

• 將SSH模型擴展為含雜質超晶格的$N,i$-超SSH模型，其中雜質與鄰近位點之間的躍遷幅度被修改。
• 構建具有位置相關躍遷參數$v$、$w$、$v'$、$w'$的緊鍵哈密頓量，以模擬雜質效應。
• 利用LC網絡實現拓撲電路，其中電容$C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$代表躍遷幅度，電感定義節點連接關係。
• 從電路拉普拉斯矩陣推導導納矩陣$J$，其中$J_{ab}( au) = i au [N_{ab}( au) + \tau \text{diag}(W_a)]$，透過$J \boldsymbol{V} = \boldsymbol{I}$與緊鍵哈密頓量關聯。
• 透過正則化格林函數$G = \text{sum} \frac{|\boldsymbol{\tilde{\rho}}_n|^2}{j_n}$計算阻抗$Z_{ab}$，其中$j_n$為導納特徵值。
• 透過在不同驅動頻率下測量電壓響應與阻抗共振，探測邊緣態局域化與拓撲相變。

Figure 1: (a) Scheme of the $N,i$ -super-SSH model for $N=3$ , $i=3$ . The shaded area denotes the SSH-unit cell, the supercell number is given by the parameter $m$ , the supercell position by $p$ , the species parameter is $\alpha$ and the impurity position is denoted by $i$ . (b) and (c): Supercel

实验结果

研究问题

• RQ1 超晶格結構中的雜質如何改變SSH模型中拓撲相變的邊界條件？
• RQ2 雜質在超細胞內的位置如何影響邊緣態的局域化？
• RQ3 拓撲電路在多大程度上能精確模擬拓撲邊緣態及其對雜質的響應？
• RQ4 在存在雜質的情況下，導納特徵模與阻抗共振之間的關係為何？
• RQ5 修改後的躍遷幅度（$v'$、$w'$）如何改變拓撲不變量與零能隙態的形成？

主要发现

• 雜質使拓撲相變所需躍遷參數之間的條件變得較為寬鬆，擴大了非平庸拓撲的參數空間。
• 當雜質位於超細胞內特定位置，特別是在鏈條末端附近時，邊緣態局域化更加顯著。
• 拓撲電路在拓撲相變頻率處表現出尖銳的阻抗共振，證實了保護性邊緣模態的存在。
• 電路中的電壓響應顯示電容之間呈現反相振盪，與預期的零能隙態波函數$\psi_0(n) \propto (1,0,-t,0,t^2,0,-t^3,\dots)$一致，其中$t = C_1/C_2$。
• 當$C_1 < C_2$時，因零模態邊緣態而產生阻抗共振峰；當$C_1 > C_2$時則無此共振，確認了拓撲相變。
• 當導納特徵模在邊界處局域化且$j_n$較小時，阻抗$Z_{ab}$發散，證實了電路實現中的拓撲保護效應。

Figure 2: Berry phase in the space of free parameters of the periodic $N,i$ -super-SSH model for Case I with $w=1.0$ , $v^{\prime}=w^{\prime}$ and for different values of $N$ .