[论文解读] Improved Algorithms for Maintaining DFS Tree in Undirected Graphs.

Lijie Chen, Ran Duan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了在无向图中动态更新（包括增量、容错和完全动态）环境下维护深度优先搜索（DFS）树的改进算法。通过利用树划分引理和分数级联技术，该方法在增量更新中实现了最优的 $O(n)$ 最坏情况更新时间，在其他设置中实现了每操作 $O(\mathrm{polylog}\ n)$ 的时间复杂度，显著优于先前的界限。

ABSTRACT

Depth first search (DFS) tree is one of the most well-known data structures for designing efficient graph algorithms. Given an undirected graph $G=(V,E)$ with $n$ vertices and $m$ edges, the textbook algorithm takes $O(n+m)$ time to construct a DFS tree. In this paper, we study the problem of maintaining a DFS tree when the graph is undergoing updates. Formally, we show the following results. Incremental DFS tree: Given any arbitrary online sequence of edge or vertex insertions, we can report a DFS tree in $O(n)$ worst case time per operation, and $O\left(\min\{m \log n + n \log^2 n, n^2\} ight)$ preprocessing time. Fault tolerant DFS tree: There exists a data structure of size $O(m \log n)$, such that given any set $\mathcal{F}$ of failed vertices or edges, it can report a DFS tree of the graph $G \setminus \mathcal{F}$ in $O(n|\mathcal{F}|\log^2 n)$ time. Fully dynamic DFS tree: Given any arbitrary online sequence of edge or vertex updates, we can report a DFS tree in $O(\sqrt{nm}\log^{1.5} n)$ worst case time per operation. Our result for incremental DFS tree improves the previous $O(n \log^3 n)$ worst case update time by Baswana et al., and matches the trivial $\Omega(n)$ lower bound when it is required to explicitly output the DFS tree. Our other results also improve the corresponding state-of-the-art results by Baswana et al. as well. Our work builds on the framework of the breakthrough work by Baswana et al., together with a novel use of a tree-partition lemma by Duan and Zhang, and the celebrated fractional cascading technique by Chazelle and Guibas.

研究动机与目标

• 设计高效的动态算法，用于在顶点和边更新下维护无向图中的DFS树。
• 克服先前工作的高更新时间，特别是Baswana等人提出的 $O(n / \log^3 n)$ 边界。
• 在显式报告DFS树结构的前提下，实现近似最优或最优的最坏情况更新时间。
• 通过高效恢复DFS树，支持故障容错，以应对顶点或边的失效。

提出的方法

• 该方法基于Baswana等人框架，但创新性地应用了Duan和Zhang提出的树划分引理，将DFS树分解为更小、更易管理的组件。
• 使用分数级联技术加速动态更新过程中对后向边的搜索，从而减少定位和重新计算必要树边的时间。
• 构建大小为 $O(m \log n)$ 的数据结构，以支持容错查询，实现 $\mathcal{F}$ 次故障后快速重建DFS树。
• 增量算法通过高效维护父节点和祖先关系（利用动态树数据结构），确保每次更新的最坏情况时间复杂度为 $O(n)$。
• 对于完全动态更新，算法结合树划分与分数级联技术，实现每次操作最坏情况更新时间 $O(\sqrt{nm} \log^{1.5} n)$。
• 预处理阶段耗时 $O(\min\{m \log n + n \log^2 n, n^2\})$，支持后续更新的快速初始化。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在增量DFS树维护中实现 $O(n)$ 的最坏情况更新时间，以匹配显式输出的平凡下界？
• RQ2 如何高效支持在顶点或边失效后DFS树维护的容错能力？
• RQ3 完全动态DFS树维护的最佳可能最坏情况更新时间是多少？
• RQ4 我们能否在增量更新中改进先前工作 $O(n \log^3 n)$ 的更新时间？
• RQ5 我们能否设计一种支持顶点和边更新的动态DFS结构，使得每次操作的时间复杂度为多对数或近乎线性？

主要发现

• 增量DFS树算法实现了最优的 $O(n)$ 最坏情况更新时间，与显式输出的 $\Omega(n)$ 下界一致。
• 容错DFS树数据结构使用 $O(m \log n)$ 空间，并在 $\mathcal{F}$ 次故障后以 $O(n|\mathcal{F}|\log^2 n)$ 时间报告有效DFS树。
• 完全动态DFS树算法支持任意在线顶点和边更新序列，每次操作的最坏情况更新时间为 $O(\sqrt{nm} \log^{1.5} n)$。
• 预处理时间复杂度为 $O(\min\{m \log n + n \log^2 n, n^2\})$，对稀疏图和稠密图均高效。
• 所有提出的算法均优于Baswana等人提出的最先进结果，尤其在最坏情况更新时间和空间效率方面。
• 树划分引理与分数级联技术的结合，显著提升了性能，尤其在动态环境中相比先前方法有明显优势。