[论文解读] Improved Quantum Ternary Arithmetics

Alex Bocharov, Shawn X. Cui+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于三值可逆与量子算术的优化量子电路，引入了两种高效的加法器设计：一种三值进位链加法器，深度为 O(n)，仅使用 1 个辅助位；另一种进位先行加法器，深度为 O(log n)，使用 O(n) 个辅助位。该方法利用非 Clifford 反射，通过两种门集——即受控递增门 C(X) 或 P9 相位门——进行分解，实现了在两种不同量子架构上的精确综合，同时提出了一种基于多项式分解三值对角酉矩阵的新方法。

ABSTRACT

Qutrit (or ternary) structures arise naturally in many quantum systems, particularly in certain non-abelian anyon systems. We present efficient circuits for ternary reversible and quantum arithmetics. Our main result is the derivation of circuits for two families of ternary quantum adders, namely ripple carry adders and carry look-ahead adders. The main difference to the binary case is the more complicated form of the ternary carry, which leads to higher resource counts for implementations over a universal ternary gate set. Our ternary ripple adder circuit has a circuit depth of $O(n)$ and uses only $1$ ancilla, making it more efficient in both, circuit depth and width than previous constructions. Our ternary carry lookahead circuit has a circuit depth of only $O(\log\,n)$, while using with $O(n)$ ancillas. Our approach works on two levels of abstraction: at the first level, descriptions of arithmetic circuits are given in terms of gates sequences that use various types of non-Clifford reflections. At the second level, we break down these reflections further by deriving them either from the two-qutrit Clifford gates and the non-Clifford gate $C(X): |i,j angle \mapsto |i, j + δ_{i,2} \mod 3 angle$ or from the two-qutrit Clifford gates and the non-Clifford gate $P_9=\mbox{diag}(e^{-2 π\, i/9},1,e^{2 π\, i/9})$. The two choices of elementary gate sets correspond to two possible mappings onto two different prospective quantum computing architectures which we call the metaplectic and the supermetaplectic basis, respectively. Finally, we develop a method to factor diagonal unitaries using multi-variate polynomial over the ternary finite field which allows to characterize classes of gates that can be implemented exactly over the supermetaplectic basis.

研究动机与目标

• 设计高效的三值量子算术电路，特别是加法器，以最小化电路深度与宽度。
• 实现在两种不同通用门集上对角门与受控相位门的精确综合，适用于三值量子计算。
• 探索经典可逆电路在三值系统中的表示，特别是针对如 Shor 因子分解等算术密集型算法。
• 建立一种基于有限域 F3 上多元多项式的框架，用于分解对角酉矩阵。
• 比较与对比在三值量子计算中使用元正则与超元正则门基的结构性差异与权衡。

提出的方法

• 作者采用两级抽象：首先通过非 Clifford 反射序列描述电路，再将其分解为 C(X) 或 P9 门集中的基本门。
• 通过在 F3 和 Z 上使用多项式参数化，推导出受控受控-Z 门（bigwedge(Z)）与双受控 Z 门（C2(Z)）的精确实现，从而在超元正则基上实现精确综合。
• 关键技术在于将对角门表示为 F3 上多元多项式的指数形式，其中系数为整数，从而可精确分解为 P9 门与 Clifford 门。
• 该方法利用三值有限域的代数结构，将二次项吸收进更高阶的 ζ9 相位中，简化门分解过程。
• 电路由 Clifford 门、P9 相位旋转和受控递增操作构成，并为 bigwedge(Z) 与 C2(Z) 提供了明确的电路图。
• 该方法可实现如 bigwedge(Z) 与 C2(Z) 等关键门在超元正则基上的精确实现，通过求解模 9 的 27 个线性方程组完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建出仅使用极少辅助位且电路深度低的高效三值量子加法器？
• RQ2 如何在通用三值门集中精确综合对角酉门？
• RQ3 在三值电路中，使用 C(X) 与 P9 作为非 Clifford 资源时，其结构差异与权衡为何？
• RQ4 能否利用 F3 上的多元多项式系统性地表征与分解对角量子门？
• RQ5 实现如加法与比较等基本三值算术操作的最小资源开销是多少？

主要发现

• 三值进位链加法器实现了 O(n) 的电路深度，仅使用 1 个辅助位，在深度与宽度上均优于先前构造。
• 三值进位先行加法器将深度降低至 O(log n)，代价是使用 O(n) 个辅助位，从而实现更快的算术运算。
• 本文通过求解模 9 的 27 个线性方程组，实现了在超元正则基上对 bigwedge(Z) 门的精确分解。
• 采用相同方法构建了 C2(Z) 门的电路，展示了对更高阶受控相位门的精确综合。
• 该方法可在超元正则基上精确实现如 bigwedge(Z) 与 C2(Z) 等关键门，这对算术算法至关重要。
• 该框架可表征可通过三值多项式参数化精确实现的整个对角门类别。