[论文解读] Incompatibility in general probabilistic theories, generalized spectrahedra, and tensor norms

Andreas Blühm, Anna Jenčová+1 more|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Nov 12, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文在一般概率理论（GPTs）中建立了测量相容性的多种等价刻画，将不相容性与正映射、广义谱多面体以及巴拿赫空间中的张量交叉范数联系起来。关键贡献在于证明：对于中心对称的GPTs，相容性程度由相应巴拿赫空间的ε-范数与π-范数之比决定，从而可通过1-求和范数精确计算相容性区域和通用界。

ABSTRACT

In this work, we investigate measurement incompatibility in general probabilistic theories (GPTs). We show several equivalent characterizations of compatible measurements. The first is in terms of the positivity of associated maps. The second relates compatibility to the inclusion of certain generalized spectrahedra. For this, we extend the theory of free spectrahedra to ordered vector spaces. The third characterization connects the compatibility of dichotomic measurements to the ratio of tensor crossnorms of Banach spaces. We use these characterizations to study the amount of incompatibility present in different GPTs, i.e. their compatibility regions. For centrally symmetric GPTs, we show that the compatibility degree is given as the ratio of the injective and the projective norm of the tensor product of associated Banach spaces. This allows us to completely characterize the compatibility regions of several GPTs, and to obtain optimal universal bounds on the compatibility degree in terms of the 1-summing constants of the associated Banach spaces. Moreover, we find new bounds on the maximal incompatibility present in more than three qubit measurements.

研究动机与目标

• 统一并推广一般概率理论（GPTs）中测量相容性的刻画。
• 将GPTs中的不相容性与正映射、广义谱多面体以及巴拿赫空间中的张量范数联系起来。
• 利用1-求和范数和张量交叉范数比，推导GPTs中不相容性鲁棒性的通用界。
• 计算特定GPTs（如超立方体、欧几里得球体和正单纯形）的相容性区域。
• 提供一种利用泛函分析工具量化不相容性作为量子资源的框架。

提出的方法

• 通过有序向量空间之间关联线性映射的正性来刻画相容性。
• 将自由谱多面体理论扩展至有序向量空间，以定义广义谱多面体，并将其包含关系与测量相容性关联。
• 在巴拿赫空间中建立二值测量相容性与ε-范数和π-范数之比的对应关系。
• 利用锥规划对偶性，通过原始-对偶公式化方法计算相容性范数‖·‖_c。
• 应用对称化技术，推导对称GPTs中广义谱多面体的包含常数。
• 利用巴拿赫空间理论中的已知结果，对1-求和范数进行界定，从而确定GPTs中的最大不相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用正映射刻画一般概率理论中测量的相容性？
• RQ2 广义谱多面体的包含关系在何种意义上对应于GPTs中测量的相容性？
• RQ3 在中心对称GPTs中，张量交叉范数与二值效应相容性之间的确切关系是什么？
• RQ4 如何利用巴拿赫空间的1-求和范数来界定GPTs中的最大不相容性？
• RQ5 对于特定GPTs（如超立方体、欧几里得球体和正单纯形），其精确相容性区域是什么？

主要发现

• 对于中心对称的GPTs，相容性程度由相关巴拿赫空间的ε-范数与π-范数之比决定。
• 当态空间为超立方体、欧几里得球体或正单纯形时，GPT的相容性区域可被完全刻画，其中使用了通过对称化导出的包含常数。
• 通过相关巴拿赫空间的1-求和常数，获得了相容性程度的最优通用界。
• 本文提供了锥规划公式化方法以计算相容性范数‖·‖_c，该方法推广了量子力学中的半定规划。
• 利用张量范数比，推导出超过三个qubit测量的最大不相容性的新界。
• 锥规划的对偶性确保了强对偶性和有限最优值，从而能够有效计算相容性条件。