[论文解读] Integrals of psi-classes over double ramification cycles

Alexandr Buryak, Sergey Shadrin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文计算了在曲线模空间上，双 ramification (DR) 循环与 ψ-类单项式之间的交数。通过生成函数和半无限楔形式，推导出这些交数的显式公式，其作为涉及函数 S(z) = sinh(z/2)/(z/2) 的幂级数系数，为 DR 循环在分支剖分上是具有系引系数的多项式这一猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

DR-cycles are certain cycles on the moduli space of curves. Intuitively, they parametrize curves that allow a map to \mathbb{P}^1 with some specified ramification profile over two points. They are known to be tautological classes, but in general there is no known expression in terms of standard tautological classes. In this paper, we compute the intersection numbers of those DR-cycles with any monomials in psi-classes when this intersection is zero-dimensional.

研究动机与目标

• 计算在稳定曲线模空间上，DR-循环与 ψ-类单项式的交数。
• 以涉及函数 S(z) 的生成函数形式，为这些交数提供显式公式。
• 为一个广为人知的猜想提供证据：DR_g(a₁,…,aₙ) 是 a₁,…,aₙ 的多项式，其系数属于 H^g(ℳ̄_g,n)。
• 通过包含来自相对稳定映射到 ℙ¹ 的遗忘映射下，超出紧致类型局部的 ψ-类贡献，扩展已知的 DR-循环结果。

提出的方法

• 使用半无限楔形式，通过顶点算子表示系引类和 ψ-类。
• 应用分裂公式，将不同模空间上的 DR-循环关联起来，特别是通过从 Losev-Manin 空间拉回的方式。
• 使用生成函数，其中交数作为涉及 ζ(z) = e^{z/2} - e^{-z/2} 的有理函数中单项式 z₁^{d₁}⋯zₙ^{dₙ} 的系数被提取。
• 推导出一个关键公式：∫ DR_g(a₁,…,aₙ) ∏ψ_i^{d_i} = [z₁^{d₁}⋯zₙ^{dₙ}] (z₁⋯zₙ / ζ(∑z_i)) × ∑_{σ:σ(1)=1} ∏_{k=1}^{n-1} ζ( |a'_k a'_{k+1}| / |z'_k z'_{k+1}| ) 。
• 使用归纳法和无限楔空间中的对易关系证明主要定理，特别利用算子对易子和真空期望值。
• 通过变量替换和重排，将问题约化为已知情形，包括单个 ψ-类的情形以及被遗忘标记点的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲线模空间上，DR-循环与 ψ-类单项式的交数是多少？
• RQ2 DR-循环能否表示为分支剖分 a₁,…,aₙ 的多项式，其系数属于系引环？
• RQ3 ψ-类交数在从相对稳定映射到 ℙ¹ 的遗忘映射下如何表现？
• RQ4 DR-循环与多个 ψ-类交数的生成函数结构是什么？

主要发现

• DR_g(a₁,…,aₙ) 与 ψ_s^{2g-3+n} 的交数由 z^{2g} 在 ∏_{i≠s} S(a_i z) / S(z) 中的系数 [z^{2g}] 给出，其中 S(z) = sinh(z/2)/(z/2)。
• 对于多个 ψ-类，交数是涉及 ζ-函数和分支与变量对行列式之生成函数中 z₁^{d₁}⋯zₙ^{dₙ} 的系数。
• 当一个标记点被遗忘（即 a_i = 0）时，生成函数中因子 S(a_i z) 被替换为 S(a_i z) - 1。
• 结果支持猜想：DR_g(a₁,…,aₙ) 是 a₁,…,aₙ 的多项式，其系数属于 H^g(ℳ̄_g,n)，并扩展了 Hain 在紧致类型局部的结果。
• 该方法确认了 ψ-类交数的生成函数是有理函数，且可通过无限楔空间中的算子形式体系计算。
• 证明依赖于无限楔代数中的归纳法和对易恒等式，真空期望值与交数相匹配。