[论文解读] Integration of Singular Subalgebroids

Iakovos Androulidakis, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通过引入一类仿射流形群概形与奇异子代数系之间的微分-积分对应关系，发展了奇异子代数系的李理论——这是李代数群理论中奇异 foliation 的推广——其关键贡献是提出了一种全局积分过程，可将单值群概形自然地恢复为光滑仿射流形对象，且在正则情形下该理论退化为标准的李群概形积分理论。

ABSTRACT

We establish a Lie theory for singular subalgebroids, objects which generalize singular foliations to the setting of Lie algebroids. First we carry out the longitudinal version of the theory. For the global one, a guiding example is provided by the holonomy groupoid, which carries a natural diffeological structure in the sense of Souriau. We single out a class of diffeological groupoids satisfying specific properties and introduce a differentiation-integration process under which they correspond to singular subalgebroids. In the regular case, we compare our procedure to the usual integration by Lie groupoids. We also specify the diffeological properties which distinguish the holonomy groupoid from the graph.

研究动机与目标

• 将李理论扩展至奇异子代别子代数系，后者是李代数群理论中奇异 foliation 的推广。
• 在特定类别的仿射流形群概形与奇异子代数系之间建立全局微分-积分对应关系。
• 阐明单值群概形的仿射流形结构，并将其与作用图区分开来。
• 当子代数系为正则时，将所提出的积分过程还原为标准李群概形积分的特例。
• 在全局设定之前，先提供该理论的纵向版本。

提出的方法

• 利用李代数群理论的框架，为奇异子代数系建立纵向李理论。
• 定义一类满足特定可积性与光滑性条件的仿射流形群概形。
• 从此类仿射流形群概形构造一个微分映射，映射至奇异子代数系。
• 建立一个积分过程，通过自然对应关系从子代数系恢复群概形。
• 利用 Souriau 的仿射流形结构，为单值群概形赋予与理论相容的光滑结构。
• 将所提出的积分方法与正则情形下的经典李群概形积分进行比较，证明其一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为奇异子代数系发展一种李理论，使其同时推广奇异 foliation 与李代数群？
• RQ2 在微分作用下，哪一类仿射流形群概形能自然地对应于奇异子代数系？
• RQ3 在此框架下，单值群概形如何作为仿射流形对象出现？
• RQ4 在仿射流形设定下，单值群概形与作用图之间有哪些结构性差异？
• RQ5 所提出的积分过程在正则情形下如何退化为标准李群概形积分？

主要发现

• 在特定类别的仿射流形群概形与奇异子代数系之间建立了微分-积分对应关系。
• 单值群概形自然地携带一个与积分过程相容的仿射流形结构。
• 该理论推广了经典李理论：在正则情形下，积分过程可恢复通常的李群概形积分。
• 单值群概形上的仿射流形结构使其与作用图区分开来，凸显其内在几何角色。
• 纵向理论版本为全局构造提供了基础框架。
• 该框架使得在李代数群的更广泛背景下系统处理奇异 foliation 成为可能。