[论文解读] Irregular conformal block and its matrix model

Chaiho Rim|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型厄米特矩阵模型，采用平方根势能以计算具有奇数次不规则奇点的阿列克桑德罗夫-道格拉斯理论中的不规则共形块（ICBs）——此前标准 $\beta$-系综模型无法处理此类情况。该模型通过势能中的 $\sqrt{z}$ 引入原点处的分支切割，推导出修正的环方程，并显式计算了 $n=2$（$D_3$ 理论）情形下的划分函数，将矩阵模型方法拓展至奇数次情形，得到包含耦合常数的指数与幂律依赖关系的闭式结果。

ABSTRACT

Irregular conformal block is a new tool to study Argyres-Douglas theory, whose irregular vector is represented as a simultaneous eigenstate of a set of positive Virasoro generators. One way to find the irregular conformal block is to use the partition function of the β-ensemble of hermitian matrix model. So far the method is limited to the case of irregular singularity of even degree. In this letter, we present a new matrix model for the case of odd degree and calculate its partition function. The model is different from the previous one in that its potential has additional factor of square root of matrix.

研究动机与目标

• 将矩阵模型方法拓展至此前无法处理的奇数次不规则奇点情形的不规则共形块计算。
• 构建一种新型厄米特矩阵模型，其势能中包含 $\sqrt{z}$，以刻画与奇数次极点相关的分支切割结构。
• 推导该新矩阵模型的环方程，考虑由平方根项引入的非解析行为。
• 在 $\hbar$ 的最低阶近似下计算 $n=2$ 情形（$D_3$ 理论）的划分函数，为首个奇数次情形提供定量解。
• 将该框架推广至更高 $n$，并探讨其与 $O(n)$ 矩阵模型及赛伯格-温伦德曲线的联系。

提出的方法

• 矩阵模型定义为势能 $V(z) = \alpha \log z - \sum_{s \in S} \frac{c_s}{s z^s}$，其中 $S = \{1/2, 3/2, \dots, n-1/2\}$，通过势能中的 $\sqrt{z}$ 引入平方根分支切割。
• 引入预解函数 $W(z)$ 以推导环方程，其中 $G(z) = 2W(z) + V'(z)$ 编码了沿分支切割 $\Gamma$ 的不连续性。
• 环方程的形式为 $f(z) = 4W^2 + 4V'W + 2\hbar Q W' - \hbar^2 W(z,z)$，其中 $f(z)$ 包含量子修正项，并引入了由平方根结构产生的新解析函数 $\tau(z)$。
• 系数 $f(z)$ 显式计算为 $f(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{d_k}{z^{2+k}} + 4 \frac{V_o'(z)}{\sqrt{z}} \tau(z)$，其中 $d_k = v_k(-\hbar^2 \log Z_M)$ 且 $v_k = \sum_s s c_{s+k} \frac{\partial}{\partial c_s}$。
• 在 $n=2$ 情形下，于 $\hbar$ 的最低阶近似下计算划分函数，结果为 $Z_M \sim \exp\left(-\frac{2c_{3/2}(bN + \hat{\alpha})^4 \hbar^2}{3c_{1/2}^3}\right)$，其中 $\hat{\alpha} = \alpha / \hbar$，并表现出对耦合常数的幂律与指数依赖。
• 通过假设 $\varphi_2(z) = P_{2n-1}(z)/z^{2n+1}$ 将解推广至更高 $n$，其中多项式零点提供 $2(n-1)$ 个分支点，且全纯函数由留数条件确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种矩阵模型以描述此前标准 $\beta$-系综方法无法处理的奇数次不规则奇点的不规则共形块？
• RQ2 在势能中引入依赖于 $\sqrt{z}$ 的项，会对矩阵模型中的环方程与预解函数结构产生何种修改？
• RQ3 对于 $n=2$ 情形（$D_3$ 理论）的奇数次不规则奇点，划分函数的显式形式为何？
• RQ4 填充分数与全纯结构如何约束奇数次情形下环方程的解？
• RQ5 该新矩阵模型能否与已知模型（如 $O(n)$ 矩阵模型或赛伯格-温伦德曲线）建立联系？

主要发现

• 本文成功构建了一种依赖于 $\sqrt{z}$ 的势能的新矩阵模型，能够捕捉奇数次不规则奇点的分支切割结构。
• 由于 $\tau(z) = \frac{\hbar b}{2} \sum_I \left\langle \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{\lambda_I}} \right\rangle$ 的存在，环方程被修改，该函数为由平方根势能引入的新不连续解析函数。
• 对于 $n=2$ 情形（$D_3$ 理论），在 $\hbar$ 的最低阶近似下计算出划分函数为 $Z_M \sim \exp\left(-\frac{2c_{3/2}(bN + \hat{\alpha})^4 \hbar^2}{3c_{1/2}^3}\right)$，明确显示出对耦合常数与 $N$ 的依赖。
• $d_0$ 由 $f(z)$ 中的 $1/z^2$ 项固定，而更高阶的 $d_k$ 系数由填充分数 $\oint_{\Lambda_k} W(z) \frac{dz}{\pi i} = \hbar b N_k$ 确定，其中 $\sum N_k = N$。
• 通过假设 $\varphi_2(z) = P_{2n-1}(z)/z^{2n+1}$，解的结构可推广至更高 $n$，其中 $P_{2n-1}(z)$ 的 $2(n-1)$ 个零点提供了分支点。
• 当 $\beta = 1$ 时，该模型退化为 $O(n)$ 矩阵模型且 $n = -2$，暗示其与随机矩阵理论及 $O(n)$ 模型存在更深层次的联系。