[论文解读] Iwasawa theory of overconvergent modular forms, I: Critical $p$-adic $L$-functions

David J. Hansen|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文通过插值于经典点处Kato的zeta元素的p进zeta元素的Euler系，构建了特征曲线上的双变量p进L函数。通过应用大Regulator映射，实现了p进L函数的纯代数构造，证明了通过Pollack-Stevens方法与Kato–Perrin-Riou方法定义的临界斜率p进L函数相等。

ABSTRACT

We construct an Euler system of $p$-adic zeta elements over the eigencurve which interpolates Kato's zeta elements over all classical points. Applying a big regulator map gives rise to a purely algebraic construction of a two-variable $p$-adic $L$-function over the eigencurve. As a first application of these ideas, we prove the equality of the $p$-adic $L$-functions associated with a critical-slope refinement of a modular form by the works of Bellaïche/Pollack-Stevens and Kato/Perrin-Riou.

研究动机与目标

• 在特征曲线上构造一个p进zeta元素的Euler系，使其在经典点处插值Kato的zeta元素。
• 通过大Regulator映射，提供特征曲线上双变量p进L函数的纯代数构造。
• 解决长期存在的比较问题：即Pollack-Stevens方法与Kato–Perrin-Riou方法定义的临界斜率提升形式的p进L函数之间的关系。
• 建立Coleman族与特征曲线上通用Galois表示的积分结构的基础结果。
• 为后续文章中提出的双变量Iwasawa主猜想奠定基础。

提出的方法

• 通过Chern类映射与étale过收敛上同调中的分圆zeta元素构造大zeta元素。
• 利用过收敛上同调与局部解析分布的理论，定义Coleman族上的积分结构。
• 将Galois上同调到通用Galois表示的晶体对偶的大型Regulator映射应用于该框架。
• 在高贵点处特化Regulator映射，以关联代数与解析p进L函数。
• 应用Visik定理与Rohrlich的非零结果，确保Regulator在临界点处非退化。
• 利用高贵点的Zariski稠密性与L值在插值点处的非零性，推导出p进L函数的全局相等性（至多一个常数），随后通过L值非零性将其归一化为1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在特征曲线上构造一个p进zeta元素的Euler系，使其在经典点处插值Kato的zeta元素？
• RQ2 能否通过Regulator映射实现特征曲线上双变量p进L函数的纯代数构造？
• RQ3 对于模形式的临界斜率提升形式，通过Pollack-Stevens方法与Kato–Perrin-Riou方法定义的p进L函数是否一致？
• RQ4 在过收敛模形式的背景下，代数与解析p进L函数之间存在何种关系？
• RQ5 此类Euler系与Regulator映射能否为双变量Iwasawa主猜想提供研究路径？

主要发现

• 本文通过在Euler系的p进zeta元素上应用大Regulator映射，在特征曲线上构造了双变量p进L函数。
• 所构造的p进L函数在所有有限斜率的经典点处插值Kato的zeta元素。
• 证明了通过Pollack-Stevens方法与Kato–Perrin-Riou方法定义的p进L函数在临界斜率提升形式下相等。
• 证明了解析与代数p进L函数之比为非零常数，该常数通过插值点处L值的非零性被归一化为1。
• 证明依赖于高贵点的Zariski稠密性，以及由Rohrlich定理保证的Regulator在这些点处的非退化性。
• 该方法提供了p进L函数的纯代数构造，避免了解析延拓或超出特征曲线框架的p进模形式。