[论文解读] Jealousy-freeness and other common properties in Fair Division of Mixed Manna

Martin Aleksandrov|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文研究了不可分物品（商品、坏品或混合的man）的公平分配，通过引入并分析四种新的嫉妒-free松弛形式：JF1、JF1⁰、JFX 和 JFX⁰。建立了关于公平性与效率属性组合（如“除一项物品外的 envy-freeness”（EF1/EFX）和帕累托最优性）的新不可能性与可能性结果，并提出了算法1，可在无需重新分配已有物品的前提下，以多项式时间计算出 JF1⁰ 分配。

ABSTRACT

We consider a fair division setting where indivisible items are allocated to agents. Each agent in the setting has strictly negative, zero or strictly positive utility for each item. We, thus, make a distinction between items that are good for some agents and bad for other agents (i.e. mixed), good for everyone (i.e. goods) or bad for everyone (i.e. bads). For this model, we study axiomatic concepts of allocations such as jealousy-freeness up to one item, envy-freeness up to one item and Pareto-optimality. We obtain many new possibility and impossibility results in regard to combinations of these properties. We also investigate new computational tasks related to such combinations. Thus, we advance the state-of-the-art in fair division of mixed manna.

研究动机与目标

• 分析混合man中不可分物品分配的公平性与效率，其中物品可为商品、坏品或混合（对不同代理人价值不同）。
• 提出并形式化四种新的嫉妒-free松弛形式：JF1、JF1⁰、JFX 和 JFX⁰，以细化“除一项物品外的 envy-freeness”概念。
• 研究同时满足公平性（如 JF1、EFX）与效率性（如帕累托最优性）属性的分配的存在性及其计算复杂度。
• 开发一种新算法（算法1），用于计算 JF1⁰ 分配，避免重新分配已有物品，从而支持在线部署。
• 识别在结合公平性松弛形式时存在的开放问题与局限性，特别是在归一化效用与多 agent 设置下。

提出的方法

• 提出四种新的公平性松弛形式：JF1（除一项物品外的嫉妒-free）、JF1⁰（无非零效用约束的松弛 JF1）、JFX（更强的 JF1，要求同时考虑所有坏品与商品）以及 JFX⁰（松弛的 JFX）。
• 采用字典序最大最小（leximin）与 leximin++ 方法计算公平分配，后者在特定设置下可保证 EFX 与 JFX 属性。
• 采用逐项分配算法（算法1），对每项物品做出不可逆决策，不回溯先前分配，适用于在线环境。
• 通过计算复杂度分析表明，某些组合（如 JF1+PO）为 NP-hard，并通过反例证明不可能性结果。
• 使用归一化加法效用与一般效用分析公平性，尤其在纯坏品与混合man设置下。
• 依赖现有算法，如广义嫉妒图算法（用于 EF1）与匈牙利算法（用于基于匹配的 PO 分配）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三名代理人且效用归一化的情况下，JF1⁰ 分配是否可能与“除一项物品外的 envy-freeness”（EF1）同时存在？
• RQ2 在三名或更多代理人的情况下，是否可能同时实现 JF1 与帕累托最优性（PO）？
• RQ3 在纯坏品设置与归一化一般效用下，JFX 与 EFX 分配是否存在？是否可高效计算？
• RQ4 所提出的 JF1⁰ 算法是否可适应在线设置，即物品按顺序到达且无先验知识？
• RQ5 当效用以一进制形式给出时，是否存在计算 JFX 分配的多项式时间算法？抑或该问题本质上难以计算？

主要发现

• JF1⁰ 分配可使用算法1在多项式时间内计算，该算法对每项物品做出不可逆决策，适用于在线环境。
• 存在三名代理人与三件纯坏品、效用为归一化加法效用的问题，其中不存在 JF1 分配同时满足 EF1，表明 JF1 与 EF1 存在不相容性。
• 在混合man中，当 n ≥ 4 名代理人时，JF1+PO 不可能实现，且该问题为 NP-hard，表明存在强烈的计算障碍。
• 在纯坏品设置下，JFX+PO 分配存在且可高效计算，可通过匹配算法在 O(n³) 时间内求解。
• leximin++ 解决方案在商品问题与相同一般效用下可实现 EFX 与 JFX 属性，提示其可能推广至混合man。
• JFX⁰ 与 JFX 分别严格强于 JF1⁰ 与 JF1，形成层级关系：JFX⁰ ⇒ JFX ⇒ JF1⁰ ⇒ JF1。