[论文解读] K-Theoretic $I$-function of $V//_{ heta} \mathbf{G}$ and Application

Yaoxiong Wen|arXiv (Cornell University)|May 30, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文使用阿贝尔与非阿贝尔对应关系，计算了GIT商 $V//_{\theta}\mathbf{G}$ 的具有层次结构的K-理论 $I$-函数，将Givental-Lee的Toda算子结果推广到量子K-理论中的非平凡层次结构。它在完全旗流形上建立了 $\mathcal{J}$-函数的有限差分差分方程，表明 $K_{\mathbf{T}}(X)$-值级数是具有层次依赖系数的广义Toda算子的本征态。

ABSTRACT

In this paper, we compute K-theoretic $I$-function with level structure (defined by quasi-map theory) of GIT-quotient of a vector space via abelian and non-abelian correspondence. As a consequence, we generalize Givental-Lee's result to find the analogous "Toda operators" for the $I$-function with nontrivial level structures in the case of complete flag variety.

研究动机与目标

• 将Givental-Lee的Toda算子框架扩展到完全旗流形背景下具有非平凡层次结构的量子K-理论。
• 建立包含层次结构的 $I$-函数的K-理论阿贝尔/非阿贝尔对应关系。
• 推导在层次结构下 $\mathcal{J}$-函数满足的差分方程，推广原始Toda系统的有限差分结构。
• 验证具有层次结构的 $K_{\mathbf{T}}(X)$-值 $\tilde{\mathcal{J}}$-函数是广义Toda算子的本征态。

提出的方法

• 使用拟映射理论和 $\mathbb{C}^{*}$-等变局部化，将 $I$-函数表示为拟映射模空间上虚拟类的和。
• 应用阿贝尔/非阿贝尔对应技术，通过行列式线丛将 $V//\mathbf{G}$ 的 $I$-函数与 $V//\mathbf{T}$ 的 $I$-函数关联起来。
• 通过 $\mathcal{D}^{R,l}$ 引入层次结构，其定义为 $\operatorname{det}^{-l_i} R^\bullet \pi_* (\mathfrak{P} \times_{\mathbf{G}} \mathbb{C}_{\theta_i})$，通过插入 $p_i^{l_i(d_i-1)} q^{l_i d_i(d_i-1)/2}$ 因子来修改 $I$-函数。
• 通过在第 $i$ 项中引入 $q^{l_i Q_i \partial_{Q_i}}$ 项，修改原始的Givental-Lee算子，得到广义Toda算子 $\widetilde{H}^{\theta_i,l_i}_{Q,q}$。
• 利用部分旗流形的镜像定理，证明零层次的小 $I$-函数等于小 $\mathcal{J}$-函数，从而实现向非零层次的推广。
• 通过普吕克嵌入将线丛 $l_i$ 表示为 $p_i$ 的形式，实现与Givental和Lee已知结果的显式比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用阿贝尔/非阿贝尔对应关系计算GIT商 $V//_{\theta}\mathbf{G}$ 的具有层次结构的K-理论 $I$-函数？
• RQ2 当在完全旗流形的 $I$-函数中引入层次结构时，广义Toda算子结构是否仍然保持？
• RQ3 能否证明具有非平凡层次结构的 $\mathcal{J}$-函数满足类似于原始Toda系统的有限差分差分方程？
• RQ4 控制具有层次结构的 $\tilde{\mathcal{J}}$-函数的修正Toda算子 $\widetilde{H}^{\theta_i,l_i}_{Q,q}$ 的精确形式是什么？
• RQ5 层次结构如何通过行列式线丛和拟映射模空间上的虚拟类来修改 $I$-函数？

主要发现

• 将K-理论阿贝尔/非阿贝尔对应关系推广以包含层次结构，得到包含 $w\left[\prod_{\alpha}\frac{\prod_{k=-\infty}^{\tilde{\beta}(\alpha)}(1-L^{\vee}_\alpha q^k)}{\prod_{k=-\infty}^{0}(1-L^{\vee}_\alpha q^k)} I_{\tilde{\beta}}^{V//\mathbf{T},R,l}\right]$ 的公式。
• 对于部分旗流形，零层次的小 $I$-函数与小 $\mathcal{J}$-函数一致，证实了该情形下的镜像定理。
• $K_{\mathbf{T}}(X)$-值的 $\tilde{\mathcal{J}}$-函数在非平凡层次结构下是广义Toda算子 $\widetilde{H}^{\theta_i,l_i}_{Q,q}$ 的本征态，本征值为 $\Lambda_0^{-1} + \cdots + \Lambda_r^{-1}$。
• 修正的Toda算子包含层次依赖项：$q^{Q_{i+1}\partial_{Q_{i+1}} - Q_i\partial_{Q_i}}(1 - Q_i \circ q^{l_i Q_i \partial_{Q_i}})$，取代了原始的 $q^{Q_i\partial_{Q_i}}(1 - Q_i)$ 项。
• 具有层次 $l_i$ 的 $I$-函数通过插入 $p_i^{l_i(d_i-1)} q^{l_i d_i(d_i-1)/2}$ 而被修改，反映了层次结构对量子不变量的贡献。
• 在 $Fl_3(\mathbb{C}^4)$ 上的显式计算表明，当层次结构设为零时，结果与Givental和Lee的结果一致，验证了该框架的正确性。