[论文解读] L-infinity algebras and higher analogues of Dirac structures and Courant algebroids

Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文使用 $L_∞$-代数引入了狄拉克结构和考朗特代数的高阶类比，表明正规高阶狄拉克结构对应于一个叶状分支和一个微分形式，并证明其与多狄拉克结构的等价性。本文构建了这些结构的可观测量 $L_∞$-代数，并将其与通过盖茨勒构造从闭形式导出的 $L_∞$-代数联系起来，统一了场论与几何方法。

ABSTRACT

We define a higher analogue of Dirac structures on a manifold M. Under a regularity assumption, higher Dirac structures can be described by a foliation and a (not necessarily closed, non-unique) differential form on M, and are equivalent to (and simpler to handle than) the Multi-Dirac structures recently introduced in the context of field theory by Vankerschaver, Yoshimura and Marsden. We associate an L-infinity algebra of "observables" to every higher Dirac structure, extending work of Baez, Hoffnung and Rogers on multisymplectic forms. Further, applying a recent result of Getzler, we associate an L-infinity algebra to any manifold endowed with a closed differential form H, via a "higher analogue of Courant algebroid twisted by H". Finally, we study the relations between the L-infinity algebras appearing above.

研究动机与目标

• 使用 $L_\infty$-代数定义狄拉克结构和考朗特代数的高阶类比。
• 证明正规高阶狄拉克结构等价于一个叶状分支和一个微分形式，从而简化多狄拉克结构。
• 为高阶狄拉克结构构建可观测量的 $L_\infty$-代数，推广多辛几何中的可观测量。
• 通过盖茨勒构造将这些 $L_\infty$-代数与从闭形式导出的 $L_\infty$-代数联系起来。
• 阐明高阶狄拉克代数与分裂考朗特代数之间的代数与几何关系。

提出的方法

• 定义丛 $E^p = TM \oplus \wedge^p T^*M$，配备取值于 $\wedge^{p-1}T^*M$ 的配对，并在其截面上定义括号，作为分裂考朗特代数的高阶类比。
• 将高阶狄拉克结构引入为 $E^p$ 的极大迷向、对合子丛，特别关注拉格朗日子丛。
• 证明正规高阶狄拉克结构通过一个规范对应关系，由一个叶状分支 $S \subset TM$ 和一个微分形式 $\Omega \in \wedge^2 S^* \otimes \wedge^{p-1}T^*M$（可延拓至 $\wedge^{p+1}T^*M$）完全刻画。
• 使用导出括号构造方法，从高阶狄拉克结构构建可观测量的 $L_\infty$-代数，推广贝兹-霍夫南格-罗杰斯关于多辛形式的工作。
• 应用盖茨勒的结果，将任意带有闭微分形式 $H$ 的流形与一个扭曲于 $H$ 的分裂考朗特代数的高阶类比关联，从而构造出 $L_\infty$-代数。
• 分析从高阶狄拉克结构与从扭曲分裂考朗特代数导出的 $L_\infty$-代数之间的关系，识别出结构上的相似与差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用 $L_\infty$-代数与多辛几何将狄拉克结构推广至高阶？
• RQ2 正规高阶狄拉克结构在叶状分支与微分形式等熟悉几何数据下的几何刻画是什么？
• RQ3 在正规情形下，高阶狄拉克结构是否等价于多狄拉克结构？若等价，这如何简化非完整系统的场论表述？
• RQ4 可观测量的 $L_\infty$-代数如何从高阶狄拉克结构中导出？它们如何推广多辛形式的李 $p$-代数？
• RQ5 从高阶狄拉克结构导出的 $L_\infty$-代数与通过扭曲考朗特代数从闭形式导出的代数之间存在何种关系？

主要发现

• 正规高阶狄拉克结构完全由一个叶状分支 $S \subset TM$ 和一个微分形式 $\Omega \in \wedge^2 S^* \otimes \wedge^{p-1}T^*M$（可延拓至 $\wedge^{p+1}T^*M$）刻画，提供了明确的几何模型。
• 在正规情形下，高阶狄拉克结构与多狄拉克结构等价，建立了本研究与非完整系统场论表述之间的直接联系。
• 为每个高阶狄拉克结构构建了可观测量的 $L_\infty$-代数，推广了多辛几何中可观测量的李 $p$-代数结构。
• 通过一个扭曲于 $H$ 的分裂考朗特代数的高阶类比，将任意带有闭微分形式 $H$ 的流形与一个 $L_\infty$-代数关联起来，推广了罗伊滕伯格-魏斯滕的构造。
• 从高阶狄拉克结构与从扭曲分裂考朗特代数导出的 $L_\infty$-代数之间存在一个典范同态，暗示了更深层次的代数统一。