[论文解读] Multi-Dirac Structures and Hamilton-Pontryagin Principles for Lagrange-Dirac Field Theories

Joris Vankerschaver, Hiroaki Yoshimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 66被引用 9

一句话总结

本文引入了多-Dirac结构作为Dirac结构的分次推广，以几何且内在的方式表述一阶经典场论。它证明了由Hamilton-Pontryagin原理导出的隐式Euler-Lagrange方程自然地编码于多-Dirac结构中，并表明这些结构诱导出一个多-Poisson括号，且通过可积性条件推广至非完整约束。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to define the concept of multi-Dirac structures and to describe their role in the description of classical field theories. We begin by outlining a variational principle for field theories, referred to as the Hamilton-Pontryagin principle, and we show that the resulting field equations are the Euler-Lagrange equations in implicit form. Secondly, we introduce multi-Dirac structures as a graded analog of standard Dirac structures, and we show that the graph of a multisymplectic form determines a multi-Dirac structure. We then discuss the role of multi-Dirac structures in field theory by showing that the implicit field equations obtained from the Hamilton-Pontryagin principle can be described intrinsically using multi-Dirac structures. Furthermore, we show that any multi-Dirac structure naturally gives rise to a multi-Poisson bracket. We treat the case of field theories with nonholonomic constraints, showing that the integrability of the constraints is equivalent to the integrability of the underlying multi-Dirac structure. We finish with a number of illustrative examples, including time-dependent mechanics, nonlinear scalar fields and the electromagnetic field.

研究动机与目标

• 通过Dirac结构的分次推广，为一阶经典场论发展一个几何框架。
• 证明由Hamilton-Pontryagin原理导出的隐式场方程可借助多-Dirac结构内在描述。
• 建立从多-Dirac结构自然导出的多-Poisson括号结构。
• 将形式化推广至非完整场论，并通过多-Dirac结构的可积性表征约束可积性。
• 为包括标量场和电磁场在内的多个例子，提供场方程的几何统一与内在表述。

提出的方法

• 通过将配置变量与速度变量独立处理，并利用拉格朗日乘子$p$强制施加运动学约束$\dot{q} = v$，提出一种场论的变分原理——Hamilton-Pontryagin原理。
• 将多-Dirac结构定义为喷丛的切丛与余切丛直和的分次子丛，将标准Dirac结构推广至更高阶。
• 表明喷丛上的多辛形式的图像自然定义了一个多-Dirac结构，将辛几何与场论联系起来。
• 利用多-Dirac结构的内在结构，无需显式参数化即可编码隐式Euler-Lagrange运动方程。
• 从多-Dirac结构推导出一个多-Poisson括号，将泊松括号推广至场论设定。
• 通过证明约束可积性等价于底层多-Dirac结构的可积性，将该框架应用于非完整系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以几何且内在的方式将Hamilton-Pontryagin原理推广至一阶场论？
• RQ2 多-Dirac结构在编码Lagrange-Dirac场论的隐式场方程中起什么作用？
• RQ3 多-Dirac结构如何在场论中诱导出一个多-Poisson括号？
• RQ4 场论中非完整约束的几何可积性条件是什么？它与多-Dirac结构有何关联？
• RQ5 该框架能否应用于诸如非线性标量场和电磁场等物理相关的场论？

主要发现

• 由Hamilton-Pontryagin原理导出的隐式场方程被证明自然地编码于多-Dirac结构的几何中。
• 喷丛上多辛形式的图像自然定义了一个多-Dirac结构，为场论提供了几何基础。
• 任何多-Dirac结构均可自然关联一个多项Poisson括号，将泊松括号推广至场论设定。
• 对于非完整场论，约束分布的可积性等价于相关多-Dirac结构的可积性。
• 该框架成功描述了时变力学、非线性标量场和电磁场等说明性例子。
• 收缩运算$\mathcal{X} \vrule height=0.0pt,depth=0.4pt,width=3.0pt\vrule height=7.0pt,depth=0.4pt\kern 3.0pt\Omega_M$的计算得出场方程(5.7)，与变分原理一致。