[论文解读] $L^p$-operator algebras associated with oriented graphs

Guillermo Cortiñas⋆, María Eugenia Rodríguez|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文为任意可数有向图 $Q$ 引入了一个 $L^p$-算子代数 $\mathcal{O}^p(Q)$，推广了 Phillips 的 $L^p$-Cuntz 代数。证明了 $\mathcal{O}^p(Q)$ 同构于任意非零空间 $L^p$-表示的勒维特路径代数 $L_Q$ 的像的闭包，且当且仅当 $L_Q$ 是单代数时，$\mathcal{O}^p(Q)$ 作为 $L^p$-算子代数是单的；当 $L_Q$ 是纯无穷单代数时，若 $p \neq p'$，则 $\mathcal{O}^p(Q)$ 与 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 之间不存在非零连续同态。

ABSTRACT

For each $1\le p

研究动机与目标

• 为任意可数有向图 $Q$ 构造一个通用的 $L^p$-算子代数 $\mathcal{O}^p(Q)$，推广 $L^p$-Cuntz 代数。
• 刻画 $\mathcal{O}^p(Q)$ 作为 $L^p$-算子代数时的单性条件。
• 建立当 $L_Q$ 为纯无穷单代数时，$\mathcal{O}^p(Q)$ 与 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 之间不存在非零连续同态的结论，其中 $p \neq p'$。
• 通过 $L^p$-算子代数将 Phillips 关于 $L^p$-Cuntz 代数的结果统一并推广至更广泛的勒维特路径代数类。

提出的方法

• 将 $\mathcal{O}^p(Q)$ 定义为勒维特路径代数 $L_Q$ 在所有空间 $L^p$-表示所诱导的上确界范数下的完备化。
• 使用空间表示 $\rho: L_Q \to \mathcal{L}(L^p(X))$，其中 $X$ 为 $\sigma$-有限测度空间，且生成元映射为满足空间性条件的偏等距算子。
• 建立一个空间性判别准则：一个非退化的表示是空间的，当且仅当其在 $0,1$-子代数上的限制是压缩的，且生成元的算子范数不超过 1。
• 通过唯一性定理证明 $\mathcal{O}^p(Q)$ 同构于任意非零空间表示 $\rho$ 的像的闭包 $\overline{\rho(L_Q)}$，且为等距同构。
• 应用 Andô 与 Gardella-Thiel 的结果，证明在有限性或 $p > 1$ 条件下，$\mathcal{O}^p(Q)$ 的表示可分解为空间表示。
• 利用 $\ell^p(\mathbb{N})$-表示及子空间同构障碍（如 Lindstr\
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实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathcal{O}^p(Q)$ 作为 $L^p$-算子代数是单代数时，其成立的条件是什么？
• RQ2 在何种条件下，$\mathcal{O}^p(Q)$ 同构于 $L_Q$ 的某个非零空间 $L^p$-表示的像的闭包？
• RQ3 当 $L_Q$ 为纯无穷单代数时，$\mathcal{O}^p(Q)$ 与 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 之间能否存在非零连续同态（$p \neq p'$）？
• RQ4 $L_Q$ 的单性与 $\mathcal{O}^p(Q)$ 作为 $L^p$-算子代数的单性之间有何关系？
• RQ5 $p \notin \{1,2\}$ 时，$\mathcal{O}^p(Q)$ 与紧致半群 $L^p$-算子代数 $F_{\text{tight}}^p(\mathcal{S}(Q))$ 之间有何关系？

主要发现

• 对任意可数有向图 $Q$，$L^p$-算子代数 $\mathcal{O}^p(Q)$ 同构于任意非零空间 $L^p$-表示 $\rho: L_Q \to \mathcal{L}(L^p(X))$ 的像的闭包 $\overline{\rho(L_Q)}$。
• 代数 $\mathcal{O}^p(Q)$ 作为 $L^p$-算子代数是单的，当且仅当勒维特路径代数 $L_Q$ 是单的。
• 若 $L_Q$ 为纯无穷单代数且 $p \neq p'$，则不存在非零连续同态 $\mathcal{O}^p(Q) \to \mathcal{O}^{p'}(Q)$，推广了 Phillips 对 $L^p$-Cuntz 代数的结果。
• 当 $p \notin \{1,2\}$ 时，$\mathcal{O}^p(Q)$ 与由图 $Q$ 生成的逆半群 $\mathcal{S}(Q)$ 关联的紧致半群 $L^p$-算子代数 $F_{\text{tight}}^p(\mathcal{S}(Q))$ 一致，建立了与 Gardella 和 Lupini 早期工作的联系。
• 当 $Q = \mathcal{R}_n$（一个顶点，$n$ 个环）时，$\mathcal{O}^p(Q) = \mathcal{O}_n^p$，即 $L^p$-Cuntz 代数，表明与 Phillips 构造的一致性。
• 若存在非零连续同态 $\mathcal{O}^p(Q) \to \mathcal{O}^{p'}(Q')$，则 $L^{p'}(X)$ 必须包含一个与 $\ell^p(\mathbb{N})$ 同构的子空间，但根据已知的 $L^p$-空间嵌入结果，在给定条件下该情形被排除。