[论文解读] $L_p$-Representations of Discrete Quantum Groups

Michael Brannan, Zhong‐Jin Ruan|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文引入了离散量子群的 $L_p$-表示和 $D$-C$^*$-代数，通过乘子代数的子空间推广了群 C$^*$-代数的完备化。研究证明，对于像自由酉量子群 $\mathbb{F}U_N$ 这类单模离散量子群，当 $p \in (2,\infty)$ 时，$L_p$-C$^*$-代数 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 是奇异的，既不同于普遍 C$^*$-代数也不同于约化 C$^*$-代数，且不具有特征态，从而证明了其非单性与结构上的新颖性。

ABSTRACT

Given a locally compact quantum group $\mathbb G$, we define and study representations and C$^\ast$-completions of the convolution algebra $L_1(\mathbb G)$ associated with various linear subspaces of the multiplier algebra $C_b(\mathbb G)$. For discrete quantum groups $\mathbb G$, we investigate the left regular representation, amenability and the Haagerup property in this framework. When $\mathbb G$ is unimodular and discrete, we study in detail the C$^\ast$-completions of $L_1(\mathbb G)$ associated with the non-commutative $L_p$-spaces $L_p(\mathbb G)$. As an application of this theory, we characterize (for each $p \in [1,\infty)$) the positive definite functions on unimodular orthogonal and unitary free quantum groups $\mathbb G$ that extend to states on the $L_p$-C$^\ast$-algebra of $\mathbb G$. Using this result, we construct uncountably many new examples of exotic quantum group norms for compact quantum groups.

研究动机与目标

• 将 $D$-C$^*$-代数理论从离散群推广至局部紧量子群，特别关注 $L_1(\mathbb{G})$ 的 $L_p$-完备化。
• 刻画单模正交与酉自由量子群上可延拓至 $L_p$-C$^*$-代数上的正定函数。
• 通过离散量子群的 $L_p$-完备化，为紧致量子群构造不可数多个新的奇异量子群范数。
• 建立当 $p>2$ 时 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 的非同构性与非单性，将其与普遍与约化 C$^*$-代数区分开来。

提出的方法

• 将 $L_1(\mathbb{G})$ 的 $D$-表示定义为系数函数属于 $C_b(\mathbb{G})$ 的子空间 $D$ 的有界表示。
• 通过所有 $D$-表示 $\pi$ 上的上确界 $\|\omega\|_D = \sup_\pi \|\pi(\omega)\|$ 构造一个 $C^*$-范数，从而得到 $D$-C$^*$-代数 $C^*_D(\mathbb{G})$。
• 利用庞特里亚金对偶性将 $C^*_D(\mathbb{G})$ 解释为 $\text{Pol}(\hat{\mathbb{G}})$ 的完备化，从而为紧致量子群构造奇异范数。
• 应用 $\ell_q$-快速衰减性质来刻画正定函数的弱 $L_q$-有界性，将其与 $L_p$-完备化联系起来。
• 通过投影到量子子群，构造 $\mathbb{F}U_N$ 上的有界范数为 1 的正定函数列 $\tilde{\psi}_r$，并利用相关正交量子群函数分析其 $L_p$-有界性。
• 利用当 $r \to 1^-$ 时 $\sum_g r^{\ell(g)p} \dim(H_g)^2$ 的发散性，证明 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 上不存在特征态，从而推出其非单性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单模自由量子群上，哪些正定函数可延拓至 $L_p$-C$^*$-代数上的状态？
• RQ2 当 $p>2$ 时，$L_p$-C$^*$-代数 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 是否为奇异的，即严格介于普遍与约化 C$^*$-代数之间？
• RQ3 当 $p>2$ 时，$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 代数是否彼此不同构，且与 $C_u(U_N^+)$ 和 $C(U_N^+)$ 不同构？
• RQ4 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 代数是否具有迹，且迹是否唯一？

主要发现

• 对每个 $p \in (2,\infty)$，由于非单性与无特征态，$L_p$-C$^*$-代数 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 不同构于约化 C$^*$-代数 $C(U_N^+)$。
• 当 $2 \leq p < p' < \infty$ 时，典范商映射 $C^*_{p'}(\mathbb{F}U_N) \to C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 不是单射，证明了这些代数是奇异的。
• $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 代数无特征态，因为不存在弱 $L_p$ 正定函数满足当 $r$ 接近 1 时 $\sum_g r^{\ell(g)p} \dim(H_g)^2 < \infty$。
• $L_p$-完备化通过对偶性为紧致量子群 $U_N^+$ 生成了不可数多个新的奇异量子群范数。
• $\mathbb{F}U_N$ 上 $L_p$-有界正定函数的刻画依赖于快速衰减的 $\ell_q$-性质以及相关切比雪夫多项式 $S_{2n}(rN)$ 的行为。
• 当 $p>2$ 时，$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 代数的非同构性源于某些正定函数无法延拓至 $L_p$-完备化。