[论文解读] Lagrangian field theories: ind/pro-approach and L-infinity algebra of local observables

Néstor León Delgado|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 56被引用 3

一句话总结

本文为拉格朗日场论构建了一个 ind/pro-范畴框架，将无限 jet 簧丛视为 pro-有限维流形，微分形式视为 ind-形式。它构造了一个仅依赖于拉格朗日量上同调的 $L_\infty$-代数局部可观测量，无需引入辅助场或规范固定，将 Rogers 关于多辛 $L_\infty$-代数的结果推广至无限 jet 设置。

ABSTRACT

Field Theories in Physics can be formulated giving a local Lagrangian density. Locality is imposed using the infinite jet bundle. That bundle is viewed as a pro-finite dimensional smooth manifold and that point of view has been compared to different topological and Frechét structures on it. A category of local (insular) manifolds has been constructed. Noether's second theorem is reviewed and the notion of Lie pseudogroups is explored using these concepts. The L-infinity algebra of local observables is defined depending only on the cohomology of the Lagrangian (using a result in multisymplectic manifold which has been extended to the local category). That local pre-multisymplectic form, called the Poincaré-Cartan can be thought of as a coordinate free, cohomological version of other similar structures in the field.

研究动机与目标

• 使用 ind- 和 pro-范畴提供拉格朗日场论的现代范畴框架。
• 将无限 jet 簧丛形式化为 pro-有限维光滑流形，将微分形式形式化为 ind-微分形式。
• 定义一个‘孤岛流形’范畴，以捕捉场论中的局部与相对结构。
• 构造一个与拉格朗日量上同调内在相关的 $L_\infty$-代数局部可观测量。
• 将 Rogers 关于多辛 $L_\infty$-代数的结果推广至无限 jet 与 ind/pro 设置。

提出的方法

• 使用 jet 簧丛的逆极限，将无限 jet 簧丛建模为 pro-有限维光滑流形。
• 将局部形式定义为从无限 jet 簧丛的拉回，形成双复结构。
• 引入孤岛流形范畴以处理相对与局部化的场构型。
• 在孤岛范畴中发展切结构、向量场与微分形式。
• 通过与局部预多辛结构相关的哈密顿形式，构造 $L_\infty$-代数局部可观测量。
• 使用分次交换子与 Cartan 微分学验证 ind/pro 设置下的 $L_\infty$-关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在范畴框架内严格处理无限 jet 簧丛作为 pro-有限维流形？
• RQ2 何种范畴适合形式化拉格朗日场论中局部与相对场构型？
• RQ3 能否仅从拉格朗日量的上同调内在构造 $L_\infty$-代数局部可观测量，而无需引入辅助场？
• RQ4 标准构造如 Cartan 微分学与李导数如何推广至 ind/pro-范畴设置？
• RQ5 Rogers 从多辛形式构造 $L_\infty$-代数的方法在无限 jet 与 ind/pro 上下文中可推广到何种程度？

主要发现

• $L_\infty$-代数局部可观测量自然地从拉格朗日量的上同调定义，无需引入鬼场或对偶场。
• 该构造推广了 Rogers 的结果：$L_\infty$-代数源于与局部预多辛形式相关的哈密顿形式。
• 在 ind/pro 设置中，通过交换子恒等式验证了 $\mathcal{L}_X$、$\iota_X$、$\delta$ 与 $d$ 的分次雅可比恒等式与莱布尼茨法则。
• 由于构造本身具有反对称性与多重线性，$L_\infty$-代数的括号关系无需额外的化解机制。
• 验证 $L_\infty$-关系的关键在于证明 $[[\delta,\iota_X],\iota_{X'}] = 0$ 在 $(0,2)$-形式上成立，这得益于 $\delta f$ 与 $\delta X_i$ 项的相互抵消。
• $L_\infty$-代数结构在向量场与李导数作用下保持不变，如恒等式 $[\mathcal{L}_X^d, \mathcal{L}_{X'}^d] = \mathcal{L}_{[X,X']}^d$ 所示。