[论文解读] Large deviations for random walks in a random environment on a strip

Jonathon Peterson|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本论文为定义在有限宽度条带 $\mathbb{Z} \times [d]$ 上的随机环境中随机游走建立了淬火与平均的大型偏差原理，推导出关联淬火与平均速率函数的变分公式。该方法将 Comets、Gantert 与 Zeitouni 的统一框架扩展至高维条带模型，利用矩阵乘积结构与谱分析，推导出位置与 hitting 时间的大型偏差渐近行为。

ABSTRACT

We consider a random walk in a random environment (RWRE) on the strip of finite width $\mathbb{Z} imes \{1,2,\ldots,d\}$. We prove both quenched and averaged large deviation principles for the position and the hitting times of the RWRE. Moreover, we prove a variational formula that relates the quenched and averaged rate functions, thus extending a result of Comets, Gantert, and Zeitouni for nearest-neighbor RWRE on $\mathbb{Z}$

研究动机与目标

• 建立在有限宽度条带 $\mathbb{Z} \times [d]$ 上的随机环境随机游走的位置 $X_n/n$ 与 hitting 时间 $T_n/n$ 的大型偏差原理。
• 在一般 i.i.d. 环境下，推导该随机游走位置与 hitting 时间的淬火与平均大型偏差速率函数。
• 将此前仅知于 $\mathbb{Z}$ 上最近邻 RWRE 的淬火与平均速率函数之间的变分公式，推广至条带模型。
• 通过矩阵乘积与谱理论，提供一个统一的分析框架，以处理高维状态空间中的问题。

提出的方法

• 使用 i.i.d. 的 $d \times d$ 转移矩阵 $q_n, r_n, p_n$ 对条带上的 RWRE 进行建模，分别表示在每个站点 $n \in \mathbb{Z}$ 处的向左、向右及同层移动。
• 通过 $P_\omega^{(x,i)}$ 和 $\mathbb{P}_\eta^{(x,i)} = \mathbb{E}_\eta[P_\omega^{(x,i)}]$ 分别定义淬火与平均概率测度。
• 利用矩阵乘积表示 $\Phi_k(\lambda)$ 编码游走的矩生成函数，将其分解为块 $A_k(\lambda)$ 与 $B_k(\lambda)$。
• 在低于临界值 $\lambda_{\text{crit}}(\eta)$ 的 $\lambda$ 范围内，对矩阵元素 $A_k(\lambda), B_k(\lambda)$ 建立一致的下界与上界，确保谱稳定性。
• 通过在矩阵乘积 $A_{[m,n]}(\lambda)$ 上应用压缩映射论证，证明左、右特征向量近似中相对误差的指数衰减。
• 构造归一化左、右特征向量的极限向量 $\mu_k(\lambda)$ 与 $\nu_k(\lambda)$，并给出 $L^1$ 与 $L^\infty$ 范数下的显式误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在条带模型中，$X_n/n$ 与 $T_n/n$ 的淬火与平均大型偏差原理有何不同？
• RQ2 能否在这一高维设定下推导出关联淬火与平均速率函数的变分公式？
• RQ3 哪些谱性质与矩阵乘积性质可保证相关特征向量的存在性与收敛性？
• RQ4 矩阵元素的统一有界性如何影响大型偏差速率函数的稳定性与收敛性？

主要发现

• 在条带的一般 i.i.d. 环境下，建立了 $X_n/n$ 与 $T_n/n$ 的淬火与平均大型偏差原理。
• 推导出一个变分公式，将平均速率函数表示为对淬火速率函数的最小化，将 Comets、Gantert 与 Zeitouni 的结果推广至条带模型。
• 证明了极限特征向量 $\mu_k(\lambda)$ 与 $\nu_k(\lambda)$ 的存在性，其 $L^1$ 与 $L^\infty$ 误差界随乘积长度呈指数衰减。
• 对所有 $k$ 与 $\lambda < \lambda_{\text{crit}}(\eta)$，有统一有界性 $c_\lambda \leq A_k(\lambda)(i,j), B_k(\lambda)(i,j) \leq 1/c_\lambda$，确保谱正则性。
• 证明了归一化矩阵乘积 $\Phi_{[k,n]}(\lambda)\mathbf{1}/\|\cdot\|_1$ 收敛至极限 $\nu_k(\lambda)$，误差界为 $O((1 - c_\lambda^4)^{n-k})$。