[论文解读] Least action principles for incompressible flows and optimal transport between shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 56被引用 3

一句话总结

本文将形状之间的不可压缩流体流动形式化为体积保持微分同胚群中的测地线，表明最小化动能作用量可导出无粘性势流且压强与表面张力为零的欧拉方程。关键结果为：任意两个体积相等的形状几乎总能通过椭球测地线的欧拉喷射近似连接，且下确界作用量等于 Wasserstein 距离的平方——仅在 1D 情况下可被实际达到。

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to be shape densities (characteristic functions). The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

研究动机与目标

• 将形状之间的不可压缩流体流动形式化为在体积保持约束下动能作用量的临界路径。
• 研究与形状传输过程中微滴形成相关的动作最小化问题的不稳定性。
• 建立不可压缩欧拉喷射与可压缩无压强欧拉系统弱解之间的联系。
• 证明具有紧支集密度的 Wasserstein 测地线可作为不可压缩欧拉喷射的极限出现。
• 证明每个 Wasserstein 测地线是两相流混合模型中一个松弛化最小作用量原理的唯一极小化子，其中包含真空相。

提出的方法

• 在欧拉框架下使用特征函数表示形状密度，形式化该问题。
• 推导形式测地线方程，即无粘性、不可压缩势流且压强与表面张力为零的欧拉方程。
• 将作用量泛函视为在受限于形状密度的传输路径上积分的动能。
• 通过可数个椭球测地线的叠加构造欧拉喷射，以近似形状转换。
• 在两相流混合理论中应用松弛化最小作用量原理，将 Wasserstein 测地线表征为极小化子。
• 使用弱极限论证，将不可压缩欧拉喷射与可压缩无压强欧拉系统解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制形状之间不可压缩流体流动、保持体积的测地线方程是什么？
• RQ2 微滴形成如何导致形状传输中作用量最小化问题的不稳定？
• RQ3 欧拉喷射与形状空间中 Wasserstein 距离之间存在何种关系？
• RQ4 具有紧支集密度的 Wasserstein 测地线能否作为不可压缩欧拉流的极限实现？
• RQ5 是否存在一个变分原理，能唯一地以松弛化作用量泛函表征 Wasserstein 测地线？

主要发现

• 在传输两个体积相等形状时，作用量的下确界等于 Wasserstein 距离的平方，且该值几乎从不被实际达到，仅在 1D 情况下例外。
• 任意两个体积相等的形状几乎总能通过欧拉喷射（即可数个椭球测地线的叠加）近似连接，证明了近似极小化子的存在性。
• 每个有界、紧支集密度之间的 Wasserstein 测地线均为不可压缩欧拉喷射的弱极限。
• 所得弱极限是可压缩无压强欧拉系统的解，通过作用量原理将不可压缩与可压缩流体动力学联系起来。
• Wasserstein 测地线是包含不可压缩流体与真空的两相流混合模型中松弛化最小作用量原理的唯一极小化子。
• 形式测地线方程对应于自由边界上压强与表面张力为零的不可压缩、无粘性势流的欧拉方程。