[论文解读] Leavitt path algebras, $B_\infty$-algebras and Keller's conjecture for singular Hochschild cohomology

Xiao‐Wu Chen, Huanhuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 69被引用 4

一句话总结

本文在莱维特路径代数的霍赫希尔德上链复形与相应幂零根代数的奇异霍赫希尔德上链复形之间建立了 $B_\infty$-拟同构，证明了在此背景下凯勒猜想在奇异霍赫希尔德上同调中的成立。关键结果确认了在 $B_\infty$-代数的同伦范畴中，该代数的奇异霍赫希尔德上链复形与它的微分graded奇异范畴的霍赫希尔德上链复形之间存在同构。

ABSTRACT

For a finite quiver without sinks, we establish an isomorphism in the homotopy category $\mathrm {Ho}(B_\infty)$ of $B_{\infty}$-algebras between the Hochschild cochain complex of the Leavitt path algebra $L$ and the singular Hochschild cochain complex of the corresponding radical square zero algebra $Λ$. Combining this isomorphism with a description of the dg singularity category of $Λ$ in terms of the dg perfect derived category of $L$, we verify Keller's conjecture for the singular Hochschild cohomology of $Λ$. More precisely, we prove that there is an isomorphism in $\mathrm{Ho}(B_\infty)$ between the singular Hochschild cochain complex of $Λ$ and the Hochschild cochain complex of the dg singularity category of $Λ$. One ingredient of the proof is the following duality theorem on $B_\infty$-algebras: for any $B_\infty$-algebra, there is a natural $B_\infty$-isomorphism between its opposite $B_\infty$-algebra and its transpose $B_\infty$-algebra. We prove that Keller's conjecture is invariant under one-point (co)extensions and singular equivalences with levels. Consequently, Keller's conjecture holds for those algebras obtained inductively from $Λ$ by one-point (co)extensions and singular equivalences with levels. These algebras include all finite dimensional gentle algebras.

研究动机与目标

• 在莱维特路径代数的霍赫希尔德上链复形与相关幂零根代数的奇异霍赫希尔德上链复形之间建立 $B_\infty$-拟同构。
• 通过证明在 $B_\infty$-代数的同伦范畴中，奇异霍赫希尔德上链复形与微分graded奇异范畴的霍赫希尔德上链复形之间存在同构，验证凯勒猜想在奇异霍赫希尔德上同调中的成立。
• 证明一个关于 $B_\infty$-代数的对偶性定理，即任意 $B_\infty$-代数的对偶代数与转置代数自然同构。
• 证明凯勒猜想在单点（余）扩张与奇异等价关系（带水平）下保持不变，从而将其有效性推广至更广泛的代数类。
• 通过上述操作的归纳构造，证明所有有限维的优美代数均满足凯勒猜想在奇异霍赫希尔德上同调中的成立。

提出的方法

• 利用相对标准复形与同伦转移定理，为莱维特路径代数构造一个同伦形变收缩。
• 通过相对上同调定义奇异霍赫希尔德上链复形，并在右奇异复形上引入一个括号运算。
• 通过奎瓦的路径数据，对幂零根代数的奇异霍赫希尔德上链复形给出组合描述。
• 引入莱维特 $B_\infty$-代数作为中间对象，给出其括号运算的显式递推公式。
• 在微分代数与其模型之间建立 $A_\infty$-拟同构，然后通过括号运算将其提升为 $B_\infty$-态射。
• 通过在约化复形中的元素上逐项计算并验证符号约定，检查高阶预雅克比恒等式，从而验证 $B_\infty$-态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在莱维特路径代数的霍赫希尔德上链复形与相应幂零根代数的奇异霍赫希尔德上链复形之间的 $B_\infty$-拟同构？
• RQ2 对于由无汇点的有限奎瓦导出的幂零根代数，凯勒猜想是否在奇异霍赫希尔德上同调中成立？
• RQ3 任意 $B_\infty$-代数的对偶与转置 $B_\infty$-代数之间是否可建立对偶性，该对偶性如何支持主要同构？
• RQ4 凯勒猜想在单点（余）扩张与奇异等价关系（带水平）下是否保持不变，是否可借此将结果推广至更广泛的代数类？
• RQ5 在 $B_\infty$-代数的同伦范畴中，奇异霍赫希尔德上链复形与微分graded奇异范畴的霍赫希尔德上链复形之间的同构，在优美代数中在多大程度上成立？

主要发现

• 在莱维特路径代数的霍赫希尔德上链复形与相应幂零根代数的奇异霍赫希尔德上链复形之间，构造了一个显式的 $B_\infty$-拟同构。
• 对偶性定理建立了任意 $B_\infty$-代数的对偶代数与转置代数之间的自然 $B_\infty$-同构。
• 验证了幂零根代数的奇异霍赫希尔德上同调中凯勒猜想的成立，即在 $\mathrm{Ho}(B_\infty)$ 中，奇异霍赫希尔德上链复形与微分graded奇异范畴的霍赫希尔德上链复形之间存在同构。
• 证明了该猜想在单点（余）扩张与奇异等价关系（带水平）下保持不变，从而可推广至通过这些操作构造的代数。
• 所有有限维的优美代数均满足凯勒猜想在奇异霍赫希尔德上同调中的成立，因为它们可通过上述操作从基代数归纳构造得出。
• 证明依赖于验证莱维特 $B_\infty$-代数中括号运算的高阶预雅克比恒等式，该验证通过精确的符号约定与逐项计算得以确认。