[论文解读] Lefschetz Fibrations on Compact Stein Manifolds

Selman Akbulut, M. Firat Arikan|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了每个维度大于4的紧致 Stein 流形都允许一个以二维盘为底的 Lefschetz 纤维丛，其正则纤维为 Stein 流形，且单值群为沿拉格朗日子流形的右手 Dehn 扭转所组成的辛同胚。该构造将 Stein 曲面情形推广至高维，并建立了一个与之相容的凸 Lefschetz 纤维丛结构，通过开书分解支持边界上的接触结构。

ABSTRACT

Here we prove that up to diffeomorphism every compact Stein manifold W of dimension 2n+2>4 admits a Lefschetz fibration over the two-disk with Stein regular fibers, such that the monodromy of the fibration is a symplectomorphism induced by compositions of right-handed Dehn twists along embedded Lagrangian n-spheres on the generic fiber. This generalizes the Stein surface case of n=1, previously proven by Loi-Piergallini and Akbulut-Ozbagci. More precisely, we show that up to Liouville isomorphism any Weinstein domain W admits a compatible compact convex Lefschetz fibration with Weinstein regular fibers and with the same monodromy description stated above. Moreover, the induced convex open book supports the induced contact structure on the boundary of W.

研究动机与目标

• 将 Lefschetz 纤维丛构造从 Stein 曲面（n=1）推广至维度大于4的高维紧致 Stein 流形。
• 在任意具有 Stein 纤维的 Weinstein 域上建立一个相容的紧致凸 Lefschetz 纤维丛结构。
• 证明该纤维丛的单值群可实现为沿嵌入的拉格朗日子流形的右手 Dehn 扭转的复合。
• 证明边界上诱导的开书可支持 Stein 流形边界的接触结构。

提出的方法

• 利用 Liouville 同构将问题约化为在 Weinstein 域上构造一个相容的凸 Lefschetz 纤维丛。
• 在二维盘上构造纤维丛，其正则纤维为 Stein 流形。
• 确保单值群为从通用纤维中沿嵌入的拉格朗日子流形的右手 Dehn 扭转复合所生成的辛同胚。
• 利用凸 Lefschetz 纤维丛与开书之间的对应关系，证明边界上的接触结构由诱导的开书所支持。
• 利用 Weinstein 结构的灵活性以及 Stein 流形中拉格朗日子流形的存在性，实现所需的单值群。
• 利用右手 Dehn 扭转生成的辛同胚保持 Stein 结构并兼容纤维丛结构的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个维度大于4的紧致 Stein 流形是否都能装备一个以二维盘为底、正则纤维为 Stein 流形且单值群为辛同胚的 Lefschetz 纤维丛？
• RQ2 此类纤维丛的单值群是否可实现为沿嵌入的拉格朗日子流形的右手 Dehn 扭转的复合？
• RQ3 在 Weinstein 域上的纤维丛结构是否诱导出一个与 Liouville 结构相容的紧致凸 Lefschetz 纤维丛？
• RQ4 紧致 Stein 流形边界上诱导的开书是否可支持其边界的接触结构？
• RQ5 Loi-Piergallini 与 Akbulut-Ozbagci 结果的高维推广在维度 2n+2 > 4 时如何扩展？

主要发现

• 每个维度为 2n+2 > 4 的紧致 Stein 流形，至多在微分同胚意义下，都允许一个以二维盘为底、正则纤维为 Stein 流形的 Lefschetz 纤维丛。
• 该纤维丛的单值群为沿通用纤维中嵌入的拉格朗日子流形的右手 Dehn 扭转复合所实现的辛同胚。
• 在 Liouville 同构意义下，任一 Weinstein 域都允许一个相容的紧致凸 Lefschetz 纤维丛，其正则纤维为 Weinstein 流形，且具有相同的单值群描述。
• 该 Stein 流形边界上诱导的开书支持由边界所诱导的接触结构。
• 该构造将 Stein 曲面情形（n=1）推广至高维，扩展了 Loi-Piergallini 与 Akbulut-Ozbagci 的结果。