[论文解读] Legendrian Products

Peter Lambert‐Cole|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入了勒让德积——一种在形如 $P \times \mathbb{R}$ 的接触流形中，将两个勒让德子流形组合以生成 $P \times Q \times \mathbb{R}$ 中的新勒让德子流形的构造方法，给出了其托尔斯坦-本尼金不变量与马斯洛夫类的显式公式。关键结果表明，该积的同痕类依赖于因子的具体嵌入方式，而不仅依赖于其勒让德同痕类，从而从单一同痕类可产生无穷多个非同痕的积。

ABSTRACT

This paper introduces two constructions of Legendrian submanifolds, called the Legendrian product and spinning, and computes their classical invariants, the Thurston-Bennequin invariant and the Maslov class, in R^{2n+1}. These constructions take two Legendrians K,L and returns a product K x L, they generalize other previous constructions in contact topology, such as frontspinning and hypercube tori, and are equivalent in R^{2n+1}. Interestingly, this construction relies upon the explicit embeddings of K,L and not their Legendrian isotopy classes.

研究动机与目标

• 在 $P \times \mathbb{R}$ 型接触流形中发展一种新的勒让德子流形积构造方法。
• 为这些积计算经典不变量——托尔斯坦-本尼金不变量与马斯洛夫类。
• 证明勒让德积的同痕类依赖于因子的具体嵌入方式，而不仅依赖于其同痕类。
• 将现有构造（如前影化与超立方体环面）统一于一个框架之下。
• 在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中提供不变量的显式公式，以实现具体计算并构造新例子。

提出的方法

• 将勒让德积 $K \times L$ 定义为在 $P \times Q$ 中的拉格朗日积 $\bar{K} \times \bar{L}$ 的提升，其中 $\bar{K}, \bar{L}$ 分别是 $K, L$ 的拉格朗日投影。
• 通过要求雷布弦的行动 $\{Z(a_i)\}, \{Z(b_j)\}$ 互不相交，确保积是嵌入的；否则，积为浸入的。
• 利用雷布弦的行动与符号 $\sigma(a_i), \sigma(b_j)$ 计算 linking 数与经典不变量。
• 推导出包含 $tb(K), tb(L), \chi(T^*K), \chi(T^*L)$ 以及依赖于符号与行动的弦对之和的托尔斯坦-本尼金不变量公式。
• 引入一个依赖于雷布弦行动相对大小与环境空间维数 $n, m$ 奇偶性的符号函数 $\tau(a_i, b_j)$。
• 应用斯托克斯定理，对拉格朗日投影的面上施加面积恒等式，从而约束可能的雷布弦行动。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在 $P \times \mathbb{R}$ 型接触流形中定义勒让德子流形的积构造，以推广已知构造如前影化与超立方体环面？
• RQ2 此类积构造下，经典不变量——托尔斯坦-本尼金数与马斯洛夫类——的行为如何？
• RQ3 勒让德积的同痕类是否依赖于因子的具体嵌入方式，还是仅依赖于其同痕类？
• RQ4 能否在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中推导出不变量的显式公式？这些公式揭示了积的几何特性为何？
• RQ5 对于三个勒让德纽结的积，托尔斯坦-本尼金不变量的可能范围是什么？其如何随弦的行动与符号变化？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^{2n+1} \times \mathbb{R}^{2m+1}$ 中，$K \times L$ 的托尔斯坦-本尼金不变量由一个公式给出，该公式包含 $tb(K)$, $tb(L)$, 其单位余切丛的欧拉示性数，以及依赖于符号与行动的弦对之和。
• 该积构造依赖于勒让德因子的具体嵌入方式，而不仅依赖于其同痕类，从而从单一同痕类可产生无穷多个非勒让德同痕的积。
• 对于三个勒让德纽结 $K_1, K_2, K_3$，$K_1 \times K_2 \times K_3$ 的托尔斯坦-本尼金不变量被计算为三元组雷布弦上的和，其中函数 $\tau(a_i, b_j, c_k)$ 在三角不等式成立时取值 2，否则为 0。
• 给定纽结类型下，三重积的最小可能 $tb$ 为 $-28$，最大为 $24$，通过调整雷布弦行动可实现其间的所有值。
• 斯托克斯定理导出的面积恒等式对雷布弦行动施加了约束：对拉格朗日投影中的每个面，正行动之和减去负行动之和必须等于该面的面积，且面积必须为正。
• 通过适当地选择弦行动，可实现广泛的 $tb$ 值——例如 $tb = -28$ 或 $tb = 24$——表明该构造在生成多样化不变量方面具有丰富潜力。