[论文解读] Lie bialgebras and the cyclic homology of $A_\infty$ structures in topology

Xiaojun Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文证明，卡拉比-丘 $A_\infty$ 范畴的循环上同调自然地携带一个由等变拓扑共形场论产生的对合李双代数结构。它证明了从具有接触型边界的一条对称流形的弗克亚范畴的循环上同调到其边界线性化接触上同调的李双代数同态，通过 $A_\infty$-范畴与非交换几何方法统一了辛拓扑与弦拓扑中的结构。

ABSTRACT

$A_\infty$ categories are a mathematical structure that appears in topological field theory, string topology, and symplectic topology. This paper studies the cyclic homology of a Calabi-Yau $A_\infty$ category, and shows that it is naturally an equivariant topological conformal field theory, and in particular, contains an involutive Lie bialgebra. Applications of the theory to string topology and the Fukaya category are given; in particular, it is shown that there is a Lie bialgebra homomorphism from the cyclic cohomology of the Fukaya category of a symplectic manifold with contact type boundary to the linearized contact homology of the boundary.

研究动机与目标

• 建立卡拉比-丘 $A_\infty$ 范畴的循环上同调自然携带一个对合李双代数结构。
• 将具有接触型边界的辛流形的弗克亚范畴的循环上同调与边界的线性化接触上同调联系起来。
• 通过 $A_\infty$ 范畴与等变拓扑共形场论的框架，统一弦拓扑与辛拓扑中的结构。
• 证明卡拉比-丘 $A_\infty$ 范畴的循环上同调是一个等变拓扑共形场论。

提出的方法

• 利用 Costello 的结果：卡拉比-丘 $A_\infty$ 范畴诱导出一个开-闭拓扑共形场论（TCFT），本文分析了闭态上的 $S^1$-等变结构。
• 应用 Getzler 的引力代数与等变 TCFT 理论，通过 $S^1$-作用及其商构造出循环上同调上的李双代数结构。
• 利用有理同伦论，本文将单连通紧致流形 $M$ 的上链代数模型化为 $\mathbb{Q}$ 上的循环 $A_\infty$ 代数，从而实现与弦拓扑的比较。
• 本文通过具有不可移除奇点的 $J$-全纯曲线，构造了一个从边界 $W$ 的线性化接触上同调到 $M$ 的弗克亚范畴的循环上同调的链级映射 $f$。
• 通过分析具有奇点的 $J$-全纯圆盘与柱面的 1-维模空间的边界，本文证明 $f$ 是同伦意义下的李双代数映射。
• 该构造可推广为双李 $\infty$-代数的映射，表明辛场论与 $A_\infty$-范畴不变量之间存在更深层次的同伦相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡拉比-丘 $A_\infty$ 范畴的循环上同调是否自然携带一个李双代数结构？
• RQ2 弦拓扑中的李双代数结构能否通过流形上链代数的有理 $A_\infty$ 模型的循环上同调来实现？
• RQ3 是否存在一个从具有接触型边界的辛流形的弗克亚范畴的循环上同调到其边界的线性化接触上同调的典范映射？
• RQ4 循环上同调上的 TCFT 结构的 $S^1$-等变性如何与引力代数和李双代数结构相关联？
• RQ5 从接触上同调到弗克亚范畴的循环上同调的映射 $f$ 在何种条件下在同调上诱导出同构？

主要发现

• 本文证明卡拉比-丘 $A_\infty$ 范畴的循环上同调自然携带一个微分分次对合李双代数结构。
• 此类范畴的循环上同调是一个等变拓扑共形场论，将 Getzler 的引力代数推广到了李双代数层次。
• 对于单连通紧致流形 $M$，其上链代数的有理 $A_\infty$ 模型的循环上同调在自由环路空间的等变同调上实现了查斯-沙利文李双代数结构。
• 存在一个从具有接触型边界的辛流形的弗克亚范畴的循环上同调到其边界的线性化接触上同调的李双代数同态。
• 从线性化接触上同调到弗克亚范畴的循环上同调的映射 $f$ 是同伦意义下的李双代数映射，这是通过分析具有奇点的 $J$-全纯曲线的 1-维模空间的边界而证明的。
• 该构造表明 $f$ 可推广为双李 $\infty$-代数的映射，提示辛场论与 $A_\infty$-范畴不变量之间存在更深层次的同伦关系。