[论文解读] Locally interacting diffusions as space-time Markov random fields

Daniel Lacker, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文证明了在局部有限图上，局部相互作用的扩散过程在路径空间中随时间保持二阶马尔可夫随机场性质，建立了初始吉布斯测度与时空吉布斯测度之间的双射关系。此外，本文还证明了吉布斯唯一性，表明联合路径分布完全由初始条件和局部规范决定。

ABSTRACT

We consider a countable system of interacting (possibly non-Markovian) stochastic differential equations driven by independent Brownian motions and indexed by the vertices of a locally finite graph $G = (V,E)$. The drift of the process at each vertex is influenced by the states of that vertex and its neighbors, and the diffusion coefficient depends on the state of only that vertex. Such processes arise in a variety of applications including statistical physics, neuroscience, engineering and math finance. Under general conditions on the coefficients, we show that if the initial conditions form a second-order Markov random field on $d$-dimensional Euclidean space, then at any positive time, the collection of histories of the processes at different vertices forms a second-order Markov random field on path space. We also establish a bijection between (second-order) Gibbs measures on $(\R^d)^V$ (with finite second moments) and a set of space-time (second-order) Gibbs measures on path space, corresponding respectively to the initial law and the law of the solution to the stochastic differential equation. As a corollary, we establish a Gibbs uniqueness property that shows that for infinite graphs the joint distribution of the paths is completely determined by the initial condition and the specifications, namely the family of conditional distributions on finite vertex sets given the configuration on the complement. Along the way, we establish various approximation and projection results for Markov random fields on locally finite graphs that may be of independent interest.

研究动机与目标

• 表征图上局部相互作用扩散过程在路径空间中的时间演化为马尔可夫随机场。
• 在状态空间上的初始吉布斯测度与路径空间上的时空吉布斯测度之间建立严格对应关系。
• 证明无限图上的吉布斯唯一性性质，表明路径分布完全由初始条件和局部规范决定。
• 将马尔可夫随机场框架扩展至具有非马尔可夫动力学和一般相互作用结构的无限维SDE。
• 为局部有限图上的马尔可夫随机场提供基础近似与投影结果，适用于主定理之外的场景。

提出的方法

• 在局部有限图 $G = (V,E)$ 上形式化一个相互作用SDE系统，其中每个顶点的动力学依赖于其自身状态及其邻居，通过漂移和扩散系数定义。
• 应用伊tô公式和吉尔萨诺夫定理，分析在系数满足利普希茨连续和线性增长条件下的弱解与路径唯一性。
• 利用有限图逼近方法，将有限系统的结果推广至无限图，借助分布收敛与紧致性论证。
• 通过在有限集合上给定补集条件下的条件独立性，定义路径空间 $\mathcal{C}_t^V$ 上的二阶马尔可夫随机场。
• 利用SDE解的分布作为关键组成部分，构建 $({\mathbb{R}}^d)^V$ 上的二阶吉布斯测度与 $\mathcal{C}^V$ 上的时空吉布斯测度之间的双射。
• 在漂移为渐进可测且满足线性增长的条件下，证明吉尔萨诺夫定理的适用性，确保多莱安斯-多莱安斯指数为真正的鞅。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部有限图上，相互作用SDE系统解在路径空间中保持二阶马尔可夫随机场性质的条件是什么？
• RQ2 是否可以在状态空间上的初始吉布斯测度与路径空间上的时空吉布斯测度之间建立一一对应关系？
• RQ3 路径过程的联合分布在多大程度上由其初始条件和有限顶点子集上的局部规范决定？
• RQ4 有限图逼近在证明无限图极限下马尔可夫随机场性质与吉布斯唯一性方面起到何种作用？
• RQ5 漂移和扩散系数需满足何种充分条件，以确保此类无限系统路径唯一性与弱解存在性？

主要发现

• 若初始条件是 $({\mathbb{R}}^d)^V$ 上的二阶马尔可夫随机场，则对任意 $t > 0$，轨迹族 $(X_v[t])_{v \in V}$ 在路径空间 $\mathcal{C}_t^V$ 上构成二阶马尔可夫随机场。
• 在 $({\mathbb{R}}^d)^V$ 上的二阶吉布斯测度（具有有限二阶矩）与 $\mathcal{C}^V$ 上的时空吉布斯测度之间存在双射，连接初始分布与SDE解的分布。
• 吉布斯唯一性性质成立：对于无限图，SDE系统的分布完全由初始条件和给定补集下有限顶点子集的条件分布族决定。
• 当初始分布是给定规范下的唯一二阶吉布斯测度时，任意 $t > 0$ 时刻的解分布是对应规范下路径空间上唯一的二阶吉布斯测度。
• 通过有限图逼近证明无限情形下的马尔可夫随机场性质，分布收敛与紧致性确保极限继承该性质。
• 路径唯一性的证明依赖于在漂移与扩散系数满足利普希茨条件下的伊tô公式与格朗沃尔不等式，确保弱解的唯一性。