[论文解读] Log BPS numbers of log Calabi-Yau surfaces

Jinwon Choi, Michel van Garrel+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 77被引用 4

一句话总结

本文引入了对数BPS数，作为在对数Calabi-Yau曲面$(S,E)$中计数与除子$E$具有最大相切性的$\u0001$-曲线的、猜想为整数值的不变量。通过类似于多重覆盖公式的公式，这些不变量由亏格0的对数Gromov-Witten不变量导出，并被证明与局部BPS数以及del Pezzo曲面在算术亏格不超过2的曲线类上的环路quiver Donaldson-Thomas不变量一致。

ABSTRACT

Let $(S,E)$ be a log Calabi-Yau surface pair with $E$ a smooth divisor. We define new conjecturally integer-valued counts of $\mathbb{A}^1$-curves in $(S,E)$. These log BPS numbers are derived from genus 0 log Gromov-Witten invariants of maximal tangency along $E$ via a formula analogous to the multiple cover formula for disk counts. A conjectural relationship to genus 0 local BPS numbers is described and verified for del Pezzo surfaces and curve classes of arithmetic genus up to 2. We state a number of conjectures and provide computational evidence.

研究动机与目标

• 为在对数Calabi-Yau曲面中具有与除子$E$最大相切性的$\u0001$-曲线计数，定义新的整数值不变量——对数BPS数。
• 建立一个类似于多重覆盖公式的公式，将最大相切性的对数Gromov-Witten不变量与这些对数BPS数联系起来。
• 对del Pezzo曲面，猜想并验证对数BPS数与局部BPS数以及环路quiver DT不变量之间的关系。
• 研究对数BPS数是否独立于$E$上接触点的选择，如Conjecture 1.3所猜想。
• 为算术亏格不超过2的del Pezzo情形下的曲线类提供计算证据并证明相关猜想。

提出的方法

• 通过类似于多重覆盖公式的公式定义对数BPS数，利用不可约曲线的$l:1$覆盖和可约配置的贡献。
• 利用模空间$\u0001\overline{\operatorname{M}}_{\beta}(S,E)$的虚拟基本类（该空间参数化最大相切的亏格0稳定对数映射）来定义对数Gromov-Witten不变量$\mathcal{N}_{\beta}(S,E)$。
• 通过不可约与可约曲线分量的贡献，将对数BPS数与quiver的广义DT不变量（特别是环路quiver DT不变量）联系起来。
• 应用Abel-Jacobi映射，并研究$\operatorname{Pic}^\beta(S)$中线丛上的纤维，以分析$|L|$中曲线配置。
• 对$\mathbb{P}^2$中$E$为光滑圆锥曲线的情形进行显式计算，通过计算拐切线与二次曲线的贡献来验证不变量。
• 通过比较$\mathbb{P}^2$中度数$d \leq 4$时的$m^k_{dh}$与$\mathcal{N}^k_{dh}(\mathbb{P}^2,E)$，验证对数BPS数与局部BPS数之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过类似多重覆盖公式的定义，对数BPS数是否如猜想所示恒为整数？
• RQ2 如Conjecture 1.3所述，对数BPS数是否独立于$E$上接触点$P$的选择？
• RQ3 在del Pezzo曲面的背景下，对数BPS数如何与局部BPS数以及环路quiver DT不变量相关联？
• RQ4 如Open Question 6.16所问，模空间$\overline{\operatorname{M}}^P_\beta(S,E)$的每个不可约分量的贡献是否可表示为quiver的DT不变量？
• RQ5 对于高次曲线类，模空间$\overline{\operatorname{M}}^P_\beta(S,E)$的结构如何？其分量如何对不变量产生贡献？

主要发现

• 对于$\mathbb{P}^2$中$E$为光滑圆锥曲线的情形，对数BPS数$m^1_h = 1$与对数Gromov-Witten不变量$\mathcal{N}^1_h(\mathbb{P}^2,E) = 1$一致，确认了度数1时的公式。
• 对于度数2，$m^1_{2h} = 1$，且$\mathcal{N}^1_{2h}(\mathbb{P}^2,E) = \frac{3}{4}$，其中对数BPS数来自$\operatorname{DT}^{(2)}_2 = 1$，与多重覆盖公式一致。
• 对于度数3，$m^1_{3h} = 3$，且$\mathcal{N}^1_{3h}(\mathbb{P}^2,E) = 3 + \frac{1}{9}$，其中$m^1_{3h}$包括三个拐切线与两条不可约二次曲线的贡献。
• 对于度数4，$m^1_{4h} = 16$，且$\mathcal{N}^1_{4h}(\mathbb{P}^2,E) = 16 + \frac{3}{16}$，贡献来自$\operatorname{DT}^{(2)}_4 = 1$、极小值3与9，以及8个不可约分量。
• 对所有$d \leq 4$，对数BPS数$m^k_{dh}$与$\mathcal{N}^k_{dh}(\mathbb{P}^2,E)$一致，确认了在del Pezzo情形下猜想公式的正确性。
• 已证明$\overline{\operatorname{M}}^P_\beta(S,E)$的每个孤立分量对不变量的贡献均可通过DT不变量表达，尤其在$\mathbb{P}^2$中$E$为圆锥曲线的情形下成立。