[论文解读] Manifolds of absolutely continuous curves and the square root velocity framework

Alexander Schmeding|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在强黎曼流形取值的绝对连续曲线空间上建立了流形结构，将经典结果推广至无穷维设置。它将平方根速度变换（SRVT）框架扩展至流形值曲线，证明SRVT可分解为光滑（导数与平移）和连续（重缩放）两部分，且通过无穷维李理论在李群取值曲线情形下实现了完全可逆性。

ABSTRACT

A classical result in Riemannian geometry states that the absolutely continuous curves into a (finite-dimensional) Riemannian manifold form an infinite-dimensional manifold. In the present paper this construction and related results are generalised to absolutely continuous curves with values in a strong Riemannian manifolds. As an application we consider extensions of the square root velocity transform (SRVT) framework for shape analysis. Computations in this framework frequently lead to curves which leave the shape space (of smooth curves), and are only contained in a completion. In the vector valued case, this extends the SRVT to a space of absolutely continuous curves. We investigate the situation for shape spaces of manifold valued (absolutely continuous) curves.

研究动机与目标

• 构建取值于强黎曼流形的绝对连续曲线空间上的巴拿赫流形结构。
• 将经典关于绝对连续曲线流形的结果推广至无穷维设置。
• 将平方根速度变换（SRVT）框架扩展至流形取值的绝对连续曲线形状空间。
• 分析SRVT在流形设置下分解为光滑与连续部分的机制。
• 通过无穷维李理论，建立李群取值的绝对连续曲线的SRVT可逆性。

提出的方法

• 构建取值于强黎曼流形 $M$ 的绝对连续曲线空间 $AC^p(I,M)$，其模型为向量值 $L^p$-函数空间。
• 利用 $M$ 上的强黎曼度量 $G$，确保切空间上的拓扑与自然拓扑一致，从而实现巴拿赫流形结构的构造。
• 引入 $AC^p(I,M)$ 上的 $L^p$-丛作为无穷维设置下微分几何的关键工具。
• 应用局部加法与坐标图技术证明流形结构，依赖于局部坐标中的一致利普希茨连续性与范数等价性。
• 将SRVT视为微分、平移与重缩放的复合，证明其可分解为光滑部分与连续部分。
• 对于李群取值曲线，通过近期无穷维李理论结果证明SRVT为同胚，从而可将 $L^2$-距离拉回至定义完成空间上的度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在取值于强黎曼流形的绝对连续曲线空间上赋予巴拿赫流形结构？
• RQ2 当SRVT扩展至流形取值的绝对连续曲线时，其分解方式如何？
• RQ3 SRVT在一般黎曼流形的形状空间完成空间上是否可逆？
• RQ4 SRVT框架能否推广至李群取值曲线？若能，是否为同胚？
• RQ5 强黎曼度量与 $L^p$-丛在实现无穷维曲线流形上微分几何中起何作用？

主要发现

• 取值于强黎曼流形 $M$ 的绝对连续曲线空间 $AC^p(I,M)$ 构成一个巴拿赫流形，其模型为向量值绝对连续函数空间。
• $AC^p(I,M)$ 的构造不依赖于黎曼度量 $G$，仅依赖于 $M$ 的强黎曼结构。
• 流形取值绝对连续曲线上的SRVT可分解为光滑部分（微分与平移）与连续部分（重缩放），推广了向量值情形的结果。
• 对于李群取值曲线，SRVT为同胚，从而可将 $L^2$-距离拉回以在完成空间上定义度量。
• $AC^p(I,M)$ 上的 $L^p$-丛对微分几何框架至关重要，其构造基于一致利普希茨连续性与局部坐标图技术。
• 一般黎曼流形上扩展SRVT的可逆性仍为开放问题，尽管第3.7节提供了证明的概要。