[论文解读] Manifolds with analytic corners

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 56被引用 4

一句话总结

本文引入了具有解析角点（a-角点）的流形，这是一种新的几何框架，其中光滑性通过 b-导数而非标准导数来定义，从而能够更优地处理偏微分方程中的渐近边界条件。其主要贡献在于，a-角点为几何分析中涉及的'泡状解'、'颈部拉伸'和粘合问题提供了自然的设定，并在辛几何与椭圆型偏微分方程中具有应用价值。

ABSTRACT

Manifolds with boundary and with corners form categories ${\bf Man}\subset{\bf Man^b}\subset{\bf Man^c}$. A manifold with corners $X$ has two notions of tangent bundle: the tangent bundle $TX$, and the b-tangent bundle ${}^bTX$. The usual definition of smooth structure uses $TX$, as $f:X o\mathbb{R}$ is defined to be smooth if $ abla^kf$ exists as a continuous section of $\bigotimes^kT^*X$ for all $k\ge 0$. We define 'manifolds with analytic corners', or 'manifolds with a-corners', with a different smooth structure, in which roughly $f:X o\mathbb{R}$ is smooth if ${}^b abla^kf$ exists as a continuous section of $\bigotimes^k({}^bT^*X)$ for all $k\ge 0$. These are different from manifolds with corners even when $X=[0,\infty)$, for instance $x^α:[0,\infty) o\mathbb{R}$ is smooth for all real $α\ge 0$ when $[0,\infty)$ has a-corners. Manifolds with a-boundary and with a-corners form categories ${\bf Man}\subset{\bf Man^{ab}}\subset{\bf Man^{ac}}$, with well behaved differential geometry. Partial differential equations on manifolds with boundary may have boundary conditions of two kinds: (i) 'at finite distance', e.g. Dirichlet or Neumann boundary conditions, or (ii) 'at infinity', prescribing the asymptotic behaviour of the solution. We argue that manifolds with corners should be used for (i), and with a-corners for (ii). We discuss many applications of manifolds with a-corners in boundary problems of type (ii), and to singular p.d.e. problems involving 'bubbling', 'neck-stretching' and 'gluing'.

研究动机与目标

• 为解决标准角点流形在处理偏微分方程中渐近边界条件时的局限性。
• 提出一种基于 b-导数的角点流形新光滑结构，从而形成一类新的具有解析角点（a-角点）的流形。
• 证明 a-角点为涉及几何分析中'泡状解'、'颈部拉伸'与粘合的问题提供了更自然且高效的框架。
• 表明若从一开始就采用 a-角点，可使辛几何与库兰希理论中的现有构造更简化且更自然。
• 通过 a-角点建立微分几何中模空间的可表示 2-函子框架，确保普遍族的存在性。

提出的方法

• 通过在 $[0,\frown)^k \times \mathbb{R}^{m-k}$ 的开子集上定义 a-光滑函数，要求其连续的 b-导数 $^b\nabla^k f$ 属于 $\bigotimes^k (^bT^*X)$。
• 构建范畴 $\mathop{\bf Man} \subset \mathop{\bf Man^{ab}} \subset \mathop{\bf Man^{ac}}$，分别对应具有 a-边界与 a-角点的流形。
• 引入函子 $F_{\mathop{\bf Man^{ac}_{st}}}^{\mathop{\bf Man^{c}_{st}}}$，将 a-光滑结构与标准光滑结构关联，表明 a-光滑性可简化某些构造。
• 将该框架应用于具有 a-角点的紧致流形上的椭圆型偏微分方程，利用加权索伯列夫空间与 b-度量建立弗雷德霍尔姆性质。
• 通过 b-de Rham 上同调与 b-联络，将微分几何推广至 a-角点情形。
• 提出一种基于具有 a-角点的库兰希空间的 2-范畴可表示函子框架，确保模空间中普遍族的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 b-导数的角点流形新光滑结构，能否为偏微分方程中的渐近边界条件提供更优的框架？
• RQ2 为何标准角点流形无法自然容纳几何流中涉及的'泡状解'或'颈部拉伸'问题？
• RQ3 在库兰希空间与弗洛尔上同调的背景下，a-角点的使用如何简化辛几何中的现有证明？
• RQ4 何种条件可确保具有 a-角点的库兰希空间的 2-函子是可表示的？为何在标准角点情形通常不成立？
• RQ5 b-微分学与加权索伯列夫空间能否推广至具有 a-角点的紧致流形，从而为椭圆型算子建立弗雷德霍尔姆理论？

主要发现

• 在具有 a-角点的 $[0,\infty)$ 上，对所有 $\alpha \geq 0$，$x^\alpha$ 均为 a-光滑，而标准光滑结构下当 $\alpha$ 非整数时该性质不成立。
• 函子 $F_{\mathop{\bf Man^{ac}_{st}}}^{\mathop{\bf Man^{c}_{st}}}$ 仅对强 a-光滑映射存在，这意味着非强 a-光滑构造（如弗洛尔理论中的遗忘映射）在标准框架中不光滑，但在 a-角点设定下却是 a-光滑的。
• 在 a-角点框架下，拉格朗日子流形边界上的 $J$-全纯曲线的模空间自然构成 a-光滑 1-态射，即使在标准库兰希设定中其光滑性不成立。
• 在标准角点框架中，模问题中的普遍族可能因不可表示性而不存在，但在 a-角点设定下，由于更强的光滑结构，其自然存在。
• 具有 a-角点的流形上的加权索伯列夫空间与 b-度量支持椭圆型算子的良好弗雷德霍尔姆理论，推广了梅尔罗兹的 b-微分学。
• 使用 a-角点可直接构造具有 a-光滑结构的库兰希邻域，无需像现有文献中那样事后引入'粘合轮廓'变换。