[论文解读] Many-Body Localization: Concepts and Simple Models

Robert Sims, Günter Stolz|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Quantum many-body systems参考文献 51被引用 7

一句话总结

该论文通过将多体问题约化为有效单体哈密顿量，在两个精确可解模型——无序XY自旋链和相互作用谐振子——中严格建立了多体局域化。证明了零速度Lieb-Robinson界、基态与热态关联函数的指数衰减，以及纠缠熵的面积律，所有结果在系统尺寸上一致成立，且适用于任意无序情况，表明无序诱导的局域化即使在无均匀能隙时依然存在。

ABSTRACT

We review recent results on many-body localization for two explicitly analyzable models of many-body quantum systems, the XY spin chain in transversal magnetic field as well as interacting systems of harmonic quantum oscillators. In both models the presence of disorder leads to dynamical localization in the form of zero-velocity Lieb-Robinson bounds and to exponential decay of ground state correlations. Moreover, for oscillator systems one can also show exponential decay of thermal states as well as an area law bound for the entanglement entropy of ground and thermal states. The key fact which allows a rigorous analysis of these models is that they are given by many-body Hamiltonians which can be reduced to effective single particle Hamiltonians.

研究动机与目标

• 在具有无序的有限但均匀可控的系统中严格建立多体局域化。
• 证明即使在缺乏均匀能隙的情况下，局域化仍可在相互作用系统中持续存在，其机制依赖于无序诱导的迁移率隙。
• 表明关键局域化特征——零速度信息传播、指数关联衰减与面积律——在粒子数上一致成立，适用于无序模型。
• 通过分析可约化解的精确可解模型，为研究更复杂的多体系统提供基础框架。

提出的方法

• 通过精确对角化技术，将多体哈密顿量约化为有效单体算符。
• 利用零速度Lieb-Robinson界证明动力学局域化，表明信息传播不会超过有限速度。
• 应用对数负性作为双体纠缠熵的上界，推导出面积律。
• 利用有效单体哈密顿量在无序下的谱性质，证明关联函数的指数衰减。
• 推导出涉及投影算子型项（如 $ \|h_L^{-1/2}\| $）的对数负性确定性界，适用于基态与热态。
• 使用函数 $ \phi(t) = t^{-1/2} \tanh(\beta t^{1/2}) $ 将面积律结果推广至正温度下的热态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无序相互作用多体系统中严格建立零速度Lieb-Robinson界？
• RQ2 在无均匀能隙的无序振子系统中，基态与热态的关联函数是否仍呈现指数衰减？
• RQ3 在具有迁移率隙的无序多体系统中，能否证明纠缠熵的面积律？
• RQ4 当哈密顿量在热力学极限下为无能隙时，无序系统中的局域化效应在多大程度上仍能保持？
• RQ5 能否将基态与热态的纠缠熵以子系统边界大小为界，且与系统尺寸无关？

主要发现

• 在无序XY自旋链和振子系统中，证明了零速度Lieb-Robinson界，表明动力学局域化且无信息传播。
• 在假设A成立下，证明了无序振子模型基态关联函数的指数衰减，即使系统在热力学极限下为无能隙。
• 证明了无序振子系统基态纠缠熵的面积律，且 $ \mathbb{E}[S(\mathcal{P}_L^1)] \leq C' |\partial\Gamma| $，在系统尺寸上一致成立。
• 在任意正温度下，热态的面积律同样成立，且 $ \mathbb{E}[\mathcal{N}(\mathcal{P}_{L,\beta})] \leq C' |\partial\Gamma| $，使用了修正的投影函数 $ \phi(t) $。
• 对数负性作为纠缠熵的紧致上界，使得可在无限维希尔伯特空间中使用迹类算子范数。
• 结果在任意维度和任意无序强度下均成立，表明无序多体系统中局域化机制具有强鲁棒性。