[论文解读] Markovian Matrix Product Density Operators : Efficient computation of global entropy

Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Quantum many-body systems参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文引入了马尔可夫型矩阵乘积密度算符（MPDO），作为混合态的矩阵乘积态的一个子类，并证明其冯诺依曼熵可在经典计算机上高效计算。通过验证一组局部不等式以证明近似量子马尔可夫链结构的存在，全局熵可递归地分解为局部熵，从而实现多项式时间计算。关键结果是，在1D局部哈密顿量热态的一个合理猜想下，有限温度下的自由能问题属于NP——为在经典计算机上实现有限温度下可计算性提供了潜在路径，而此时基态问题为QMA完全。

ABSTRACT

We introduce the Markovian matrix product density operator, which is a special subclass of the matrix product density operator. We show that the von Neumann entropy of such ansatz can be computed efficiently on a classical computer. This is possible because one can efficiently certify that the global state forms an approximate quantum Markov chain by verifying a set of inequalities. Each of these inequalities can be verified in time that scales polynomially with the bond dimension and the local Hilbert space dimension. The total number of inequalities scale linearly with the system size. We use this fact to study the complexity of computing the minimum free energy of local Hamiltonians at finite temperature. To this end, we introduce the free energy problem as a generalization of the local Hamiltonian problem, and study its complexity for a class of Hamiltonians that describe quantum spin chains. The corresponding free energy problem at finite temperature is in NP if the Gibbs state of such Hamiltonian forms an approximate quantum Markov chain with an error that decays exponentially with the width of the conditioning subsystem.

研究动机与目标

• 为解决混合量子态中冯诺依曼熵计算的计算困难，特别是有限温度下的情况。
• 通过引入自由能问题，将局部哈密顿量问题推广至有限温度。
• 探讨具有短程关联的有限温度量子自旋系统是否可被经典高效模拟。
• 建立1D局部哈密顿量最小自由能可在多项式时间内被认证的条件。
• 基于矩阵乘积密度算符中的马尔可夫结构，提供热态的古典认证框架。

提出的方法

• 提出马尔可夫型MPDO作为矩阵乘积密度算符的一个子类，其中全局态满足近似量子马尔可夫链条件。
• 使用一组局部且可高效验证的不等式，以证明全局态构成近似量子马尔可夫链。
• 通过递归应用马尔可夫条件，将全局熵分解为1-和2体子系统熵的线性组合。
• 利用熵的连续性及迹距离界，将MPDO近似误差与自由能误差关联起来。
• 利用局部张量数据在多项式时间内验证马尔可夫结构，从而实现熵分解的高效认证。
• 利用高效的熵计算，构建最小自由能的多项式时间上界，适用于NP认证。

实验结果

研究问题

• RQ1 若混合量子态满足近似量子马尔可夫链条件，其冯诺依曼熵是否可被高效计算？
• RQ2 在何种条件下，1D局部哈密顿量的有限温度自由能问题属于NP？
• RQ3 1D局部哈密顿量的热态能否通过多项式纠缠维数和多项式精度的马尔可夫型MPDO近似？
• RQ4 是否存在一种基于局部数据的矩阵乘积密度算符全局熵的古典认证程序？
• RQ5 有限温度下长程关联的缺失（由马尔可夫型MPDO结构所捕捉）是否导致自由能问题的古典可计算性？

主要发现

• 马尔可夫型MPDO的冯诺依曼熵可通过将其分解为1-和2体子系统局部熵之和，在多项式时间内计算。
• 当MPDO张量满足一组可在多项式时间内验证的局部不等式时，全局态形成近似量子马尔可夫链。
• 当MPDO是真实态的1/poly(n)近似时，熵近似误差被限制在O(n^{-1-α})以内，其中任意α > 0。
• 对于有限温度T = O(1)的1D局部哈密顿量，可使用多项式纠缠维数的马尔可夫型MPDO，将自由能误差控制在1/poly(n)以内。
• 在猜想1成立下，由于存在多项式时间可验证的MPDO近似，1D局部哈密顿量在有限温度下的最小自由能问题属于NP。
• 该方法避免了谱隙等假设，仅依赖于热态的马尔可夫结构，表明热化过程可简化量子复杂性。