[论文解读] Martingale driven BSDEs, PDEs and other related deterministic problems

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文引入了一类由右连续左极限鞅和马尔可夫过程驱动的新型倒向随机微分方程（BSDE），为相关伪PDE的解耦温和解建立了概率表示。关键贡献在于在增长条件与利普希茨条件下方程解的存在性与唯一性证明，通过鞅问题框架将经典的BSDE-PDE联系拓展至非扩散型、跳跃型马尔可夫过程。

ABSTRACT

We focus on a class of BSDEs driven by a cadlag martingale and corresponding Markov type BSDE which arise when the randomness of the driver appears through a Markov process. To those BSDEs we associate a deterministic problem which, when the Markov process is a Brownian diffusion, is nothing else but a parabolic type PDE. The solution of the deterministic problem is intended as decoupled mild solution, and it is formulated with the help of a time-inhomogeneous semigroup.

研究动机与目标

• 通过引入由右连续左极限鞅驱动的新一类BSDE，将经典BSDE-PDE对应关系扩展至非布朗运动、跳跃扩散或一般马尔可夫过程。
• 通过引入伪PDE的解耦温和解概念，解决非扩散设定下粘性解的局限性。
• 在鞅问题表述下，通过马尔可夫BSDE建立确定性解的概率表示。
• 在系数满足适当的正则性与可积性条件时，证明在具有受控增长的博雷尔函数类中，解耦温和解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 构建一个由连续递增过程 $\hat{V}$、平方可积鞅 $\hat{M}$、终端条件 $\xi$ 和驱动函数 $\hat{f}$ 驱动的一般BSDE，其解为 $Y = \xi + \int \hat{f}(r, \cdot, Y_r, d\langle M, \hat{M}\rangle/d\hat{V}_r) d\hat{V}_r - (M_T - M_\cdot)$。
• 引入一个解某鞅问题的马尔可夫过程 $X$，其生成元为 $a$，递增过程为 $V$，确保对所有 $\phi \in \mathcal{D}(a)$，有 $M[\phi]^{s,x}$ 是 $\mathbb{P}^{s,x}$-鞅。
• 在具有受控增长的博雷尔函数空间上定义皮卡德迭代方案，利用算子 $\mathfrak{G}^\psi$ 将BSDE的 $Z$-分量与解的梯度关联起来。
• 在 $L^2(dV \otimes d\mathbb{P}^{s,x})$-空间中应用不动点论证，证明迭代序列收敛于一个解耦温和解 $u$。
• 证明解 $u(s,x) = Y^{s,x}_s$ 为博雷尔函数，并在 $\mathbb{P}^{s,x}$-几乎处处满足BSDE表示。
• 利用鞅表示定理与生成元 $a$ 的结构，将驱动函数对 $d\langle M, M[\psi]\rangle/dV$ 的依赖关系通过 $\mathfrak{G}^\psi$ 与解的梯度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基础过程为一般带跳跃的马尔可夫过程而非扩散过程时，能否为非线性PDE的解建立概率表示？
• RQ2 在比较原理失效的非扩散设定下，如何替代或扩展粘性解的概念？
• RQ3 在非马尔可夫或非光滑设定下，BSDE的 $Z$-分量与解的梯度之间的确切关系为何？
• RQ4 在何种条件下，解耦温和解存在且能通过由右连续左极限鞅驱动的BSDE唯一表示？
• RQ5 能否在概率框架下，通过皮卡德迭代序列的极限构造伪PDE的解？

主要发现

• 在给定假设下，本文证明了在具有多项式增长的博雷尔函数类中，相关伪PDE的解耦温和解 $u$ 存在且唯一。
• 解 $u(s,x)$ 被表征为 $Y^{s,x}_s$，即在 $\mathbb{P}^{s,x}$ 下马尔可夫BSDE解的初始值，从而提供了概率表示。
• $Z$-分量被证明可表示为 $\mathfrak{G}^\psi(u)$，该表达式在扩散情形下推广了梯度 $\sigma \nabla_x u$。
• 皮卡德迭代序列 $u_k$ 在 $L^2(dV \otimes d\mathbb{P}^{s,x})$ 中收敛，确保了解在概率意义下定义良好。
• 当 $f(\cdot, \cdot, 0, 0)$ 及利普希茨常数属于 $\mathcal{L}^2_X$ 时，驱动函数 $f$ 属于 $\mathcal{L}^2_X$，从而保证不动点论证所需的可积性。
• 极限 $\bar{u} = \limsup u_k$ 满足驱动函数为 $f(r, X_r, \bar{u}(r,X_r), v(r,X_r))$ 的BSDE，从而确认 $\bar{u}$ 是确定性问题的解。