[论文解读] Mollification of $\mathcal{D}$-solutions to Fully Nonlinear PDE Systems

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对$π$-解的新型光滑化方法——这是完全非线性PDE系统的一类广义解，允许可测的、非光滑映射作为解。通过在紧化喷层空间上使用Young测度，该方法构建了弱*意义下收敛于原始解的光滑逼近，将经典的卷积及上/下确界卷积技术推广至无对偶性的概率框架。

ABSTRACT

In a recent paper (arXiv:1501.06164) the author has introduced a new theory of generalised solutions which applies to fully nonlinear PDE systems of any order and allows the interpretation of merely measurable maps as solutions. This approach is duality-free and builds on the probabilistic representation of limits of difference quotients via Young measures over certain compactifications of the "state space". Herein we establish a systematic regularisation scheme of this notion of solution which, by analogy, is the counterpart of the usual mollification by convolution of weak solutions and of the mollification by sup/inf convolutions of viscosity solutions.

研究动机与目标

• 为$π$-解开发一种系统化的正则化方案，$π$-解是完全非线性PDE系统的一类新广义解，允许可测的、非光滑映射作为解。
• 将先前仅用于弱解和粘性解的古典光滑化技术扩展至基于Young测度的概率表示的无对偶框架。
• 在Young测度的弱*拓扑下建立光滑化解向原始$π$-解的收敛性，确保与原始解结构的一致性。
• 为研究具有不连续系数的完全非线性PDE系统提供一种稳健的分析工具，无需假设椭圆性或双曲性。
• 通过引入基于差商测度收敛的统一光滑化机制，弥合弱解与粘性解理论之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过取值于Alexandroff紧化空间$\overline{\mathbb{R}}^{Nn} \times \cdots \times \overline{\mathbb{R}}^{Nn^p}_s$的Young测度$\mathcal{D}^{[p]}u$来表示可测映射$u$的$p$阶喷层$D^{[p]}u$。
• 利用Young测度空间的弱*紧性，从差商$D^{1,h}u$的子列中提取出在$\mathscr{Y}(\Omega, \overline{\mathbb{R}}^{Nn})$中收敛于极限$\mathcal{D}u$的子列。
• 通过将候选解$u$与标准光滑化核$\rho_\varepsilon$进行卷积，定义光滑化过程，得到光滑逼近$u_\varepsilon$。
• 利用Young测度对差商极限的概率表示，确保光滑化喷层$D^{[p]}u_\varepsilon$弱*收敛于原始$\mathcal{D}^{[p]}u$。
• 通过使用序列$\psi^\nu(x) = \min\{|f^\nu(x)| \chi_{\Omega' \setminus E}(x), 1\}$的截断论证，控制残差$F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$的增长，并建立其在紧子集上的局部测度收敛性。
• 依赖于[FG]中的推论3.36和引理16，将涉及$F$的积分中的极限过程传递，确保光滑化系统收敛于原始$\mathcal{D}$-解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为完全非线性PDE系统的一般广义解（不一定是弱解或粘性解）构建一种系统化的光滑化方案？
• RQ2 如何将基于卷积的经典光滑化方法适应于基于Young测度的无对偶框架，以处理可测的、非光滑解？
• RQ3 在Young测度表示下，光滑化解序列是否以弱*方式收敛于原始$\mathcal{D}$-解？
• RQ4 在何种条件下，残差$F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$在$\nu \to \infty$时于$\mathcal{D}$-解意义下在测度上趋于零？
• RQ5 是否可以在不假设解的局部可积性或经典可微性的情况下，建立光滑化解的收敛性？

主要发现

• 光滑化序列$u_\varepsilon$收敛于原始可测解$u$，其关联的Young测度$\mathcal{D}^{[p]}u_\varepsilon$在$\mathscr{Y}(\Omega, \overline{\mathbb{R}}^{Nn} \times \cdots \times \overline{\mathbb{R}}^{Nn^p}_s)$中弱*收敛于$\mathcal{D}^{[p]}u$。
• 残差$F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$在$\Omega$的紧子集上收敛于零的测度，意味着光滑化解在极限下近似满足PDE系统。
• 通过使用$\psi^\nu(x) = \min\{|f^\nu(x)| \chi_{\Omega' \setminus E}(x), 1\}$的截断论证，建立了光滑化喷层的收敛性，该论证确保了等积可积性并允许极限传递。
• 对$\Omega \setminus E$几乎处处的$x$，$\mathcal{D}^{[p]}u(x)$的支集包含于$\mathbb{R}^{Nn} \times \cdots \times \mathbb{R}^{Nn^p}_s$，因此概率测度在有限空间上定义良好，避免了无穷远处的奇点。
• 关键不等式$\varepsilon \cdot |(\Omega' \setminus E) \cap \{|f^\nu| > \varepsilon\}| \leq \int_{\Omega' \setminus E} \min\{|F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)|, 1\} \, dx$导致$f^\nu \to 0$在测度上成立，因此沿子序列几乎处处成立。
• 证明依赖于关键事实：对几乎处处的$x$，有$\sup_{\underline{\mathbf{X}} \in \text{supp}_*(\mathcal{D}^{[p]}u(x))} |F(x, u(x), \underline{\mathbf{X}})| = 0$，这确保了残差在Young测度的必要支集上恒为零。