[论文解读] Maximum Likelihood Estimation for Hawkes Processes with self-excitation or inhibition

Bonnet, Anna, Anna Bonnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2021

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用 23

一句话总结

本文提出了一种针对具有自激奋和自抑制特性的单变量霍克斯过程的精确最大似然估计方法，通过引入重启点以推导指数核的闭式补偿函数。该方法在估计精度上显著优于近似方法，尤其在点强度频繁为零的情况下表现更优，在神经科学与金融学等真实应用场景中具有良好的适用性。

ABSTRACT

In this paper, we present a maximum likelihood method for estimating the parameters of a univariate Hawkes process with self-excitation or inhibition. Our work generalizes techniques and results that were restricted to the self-exciting scenario. The proposed estimator is implemented for the classical exponential kernel and we show that, in the inhibition context, our procedure provides more accurate estimations than current alternative approaches.

研究动机与目标

• 开发一种适用于处理自激奋与自抑制特性的单变量霍克斯过程的最大似然估计方法。
• 解决抑制型霍克斯过程，特别是单变量情形下缺乏统计估计方法的问题。
• 通过引入基础强度函数与重启时间，实现精确似然计算，从而实现参数的精确估计。
• 改进现有近似方法，这些方法通常假设强度值为负或把抑制视为隐变量。
• 实现对具有排斥或抑制相互作用现象的精确建模，例如神经元放电或市场微观结构效应。

提出的方法

• 将基础强度函数 $\lambda^\star(t)$ 定义为条件强度的未截断版本，允许其取负值。
• 将重启时间 $T_k^\star$ 定义为每个事件 $T_k$ 之后，强度 $\lambda(t)$ 再次严格变为正的首个时刻。
• 利用重启点将观测区间划分为强度为零或正的区间，从而实现补偿函数的精确计算。
• 推导出在单调指数核下补偿函数 $\Lambda(t)$ 的闭式表达式，这对精确似然评估至关重要。
• 利用重启点的显式结构以及强度的正部分，最大化精确似然函数。
• 在 Python 中实现该估计器并开源代码，确保可复现性，并支持在真实世界应用中的实际使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有抑制核的单变量霍克斯过程开发一种精确的最大似然估计程序，其中基础函数中的强度可为负？
• RQ2 重启点如何在存在抑制的情况下实现补偿函数与似然的精确计算？
• RQ3 当强度因抑制而频繁为零时，精确 MLE 方法是否显著优于现有近似方法？
• RQ4 基线强度与抑制强度对合成数据中估计精度的影响如何？
• RQ5 在存在长段零强度区间的场景下，精确方法与近似似然方法的性能相比如何？

主要发现

• 所提出的精确 MLE 方法在强度函数频繁为零的情况下，显著优于近似似然方法，尤其在抑制性强的场景中。
• 对于抑制程度高的模型（例如 $\bar{\alpha} = -2.5$，$\bar{\beta} = 1.8$），近似方法产生了严重失准的估计结果（$\hat{\alpha} \approx -8.15 \times 10^6$），而精确方法保持稳定且准确。
• 当基础强度非负（即无抑制）时，两种方法表现相近，验证了该精确方法在自激奋情形下的有效性。
• 精确方法的拟合优度检验 p 值在所有场景下均高于 0.5，表明无显著拟合不足；而近似方法在高抑制情况下表现差（如 p 值 = 5.12×10⁻⁶）。
• 当强度在长时间内为零时，精确方法在参数估计中的相对绝对误差始终更低，尤其体现在 $\alpha$ 和 $\beta$ 参数上。
• 即使在强抑制的挑战性场景下，该方法仍能实现高精度，表明其在合成数据实验中具备鲁棒性与可靠性。